[論文レビュー] Macdonald formula for curves with planar singularities

Davesh Maulik, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特異点が平面的である整数的射影的曲線に対して、滑らかな曲線のヒルベルト層のコホモロジーに関するマクドナルドの公式を一般化する。特異点を持つ曲線に対して、コンパクト化ヤコビアンのコホモロジーとヒルベルト層のコホモロジーを perverse filtration を通じて関連づけることで、その一般化を達成する。主な結果は、ヒルベルト層のコホモロジーの生成関数と、コンパクト化ヤコビアンのコホモロジーのフィルトレーションごとのgraded pieceから構成される zeta 関数との同型を確立するもので、特異曲線へのワイエル予想の一部を拡張する。

ABSTRACT

We generalize Macdonald's formula for the cohomology of Hilbert schemes of points on a curve from smooth curves to curves with planar singularities: we relate the cohomology of the Hilbert schemes to the cohomology of the compactified Jacobian of the curve. The new formula is a consequence of a stronger identity between certain perverse sheaves defined by a family of curves satisfying mild conditions. The proof makes an essential use of Ngo's support theorem for compactified Jacobians and generalizes this theorem to the relative Hilbert scheme of such families. As a consequence, we generalize part of the Weil conjectures to the Hilbert-zeta function of curves with planar singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線における対称積のコホモロジー公式を、平面的特異点を持つ曲線へ、対称冪の代わりにヒルベルト層を用いて拡張すること。
• 特異曲線のコンパクト化ヤコビアンのコホモロジーに、自然な perverse filtration を定義し、その特徴づけを行うこと。
• ヒルベルト層のコホモロジーと、コンパクト化ヤコビアンのフィルタリング済みコホモロジーから構成される zeta 関数との間の生成関数の恒等式を確立すること。
• 有限体上の平面的特異点を持つ曲線の Hilbert-zeta 関数に対して、ワイエル予想の一部を一般化すること。

提案手法

• 曲線が (A1)-(A3) の公理を満たす族に埋め込まれるようにし、相対ヒルベルト層およびコンパクト化ヤコビアンがコホモロジー的演算に対して良好に振る舞うように保証すること。
• コンパクト化ヤコビアンの Ngô のサポート定理を相対ヒルベルト層へ一般化し、perverse filtration の存在と族の選択に依存しない性質を示すこと。
• 族のコンパクト化ヤコビアンの直接像複体を用いて、$\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$ 上の perverse filtration $P_{\leq i}$ を定義し、$0 \leq i \leq 2g_a$ の外では消えるように正規化すること。
• 分子をフィルタリング済みコホモロジーのgraded pieceとする有理関数として、cohomological zeta 関数 $Z_P(t,C)$ を構成すること。分母は $(1 - \mathbb{Q}_\ell t)(1 - \mathbb{Q}_\ell[-2](-1)t)$ とする。
• ヒルベルト層の積分公式と仮想 Poincaré 多項式を用いて、主恒等式 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n \cong Z_P(t,C)$ を証明すること。
• 局所的バージョンを、平面的特異点の punctual Hilbert scheme を解析し、その仮想 Poincaré 多項式が、ラティス $\Lambda$ を法とする削減されたコンパクト化ピカード群のコホモロジーと関係することにより確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな曲線に対するマクドナルドの公式を、平面的特異点を持つ曲線へどのように拡張できるか。
• RQ2 特異曲線のヒルベルト層のコホモロジーを支配する、コンパクト化ヤコビアン上の適切なコホモロジー的不変量は何か。
• RQ3 平面的特異点を持つ特異曲線の Hilbert-zeta 関数は、ワイエル予想と同様に、関数方程式と有理型性の性質を満たすか。
• RQ4 コンパクト化ヤコビアンのコホモロジー上の perverse filtration は、自然に定義可能であり、埋め込み族の選択に依存しないか。
• RQ5 平面的特異点の punctual Hilbert scheme の仮想 Poincaré 多項式と、その特異点の削減されたコンパクト化ピカード群のコホモロジーとの正確な関係は何か。

主な発見

• 平面的特異点を持つ曲線 $C$ に対して、ヒルベルト層 $\textup{Hilb}^n(C)$ のコホモロジーは、$i,j \geq 0$, $i+j \leq n$ を満たすすべての $i,j$ について、$\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$ 上の perverse filtration の $i$ 番目のgraded piece の、$[-2j]$ によるシフトと $(-j)$ によるtwistの直和に同型である。
• 生成関数 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n$ は、コンパクト化ヤコビアンのフィルタリング済みコホモロジーから構成される zeta 関数 $Z_P(t,C)$ と同型である。
• $\mathbb{F}_q$ 上の平面的特異点を持つ曲線で、$\textup{char}(\mathbb{F}_q)$ が最大の特異点の重複度より大きい場合、Hilbert-zeta 関数 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q)$ は有理関数で、$P(t)/((1-t)(1-qt))$ の形をとり、$P(t)$ の次数は $2g_a$ である。
• Hilbert-zeta 関数は関数方程式 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q) = (qt^2)^{g_a - 1} Z_{\textup{Hilb}}(q^{-1}t^{-1}, C/\mathbb{F}_q)$ を満たし、滑らかな曲線に対するワイエル予想を一般化する。
• 局所的状況では、仮想 Poincaré 多項式が $\sum_n P^{\textup{vir}}(\textup{Hilb}^n(\widehat{\mathcal{O}}),s) t^n = \frac{\sum_i P^{\textup{vir}}(\text{Gr}^P_i \textup{H}^*(\overline{\text{Pic}}^{\text{red}}(\widehat{\mathcal{O}})/\Lambda), s) t^i}{(1-t)^r}$ を満たす。ここで $r$ は局所的分岐数である。
• コンパクト化ヤコビアンの $\textup{H}^*(\overline{\text{Jac}}(C))$ 上の perverse filtration は、その定義に使った族の選択に依存せず、重みフィルタリングとの厳密な整合性とコンパクト化ヤコビアンの構造から示される。