[論文レビュー] Machine Learning Tree and Exact Integration for Pricing American Options in High Dimension

Ludovic Goudenège, Andrea Molent+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、高次元におけるアメリカンバスケットオプションの価格設定のための、機械学習を活用した2つの手法、GPR-TreeおよびGPR-Exact Integration (GPR-EI) を提案する。後退的動的計画法において、ガウス過程回帰と二項木または解析的積分を組み合わせることで継続価値を推定することにより、粗いバーゴミ・プロセスのような非マルコフ過程ですら、高精度かつ高効率に価格設定が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we propose two efficient techniques which allow one to compute the price of American basket options. In particular, we consider a basket of assets that follow a multi-dimensional Black-Scholes dynamics. The proposed techniques, called GPR Tree (GRP-Tree) and GPR Exact Integration (GPR-EI), are both based on Machine Learning, exploited together with binomial trees or with a closed formula for integration. Moreover, these two methods solve the backward dynamic programming problem considering a Bermudan approximation of the American option. On the exercise dates, the value of the option is first computed as the maximum between the exercise value and the continuation value and then approximated by means of Gaussian Process Regression. The two methods mainly differ in the approach used to compute the continuation value: a single step of binomial tree or integration according to the probability density of the process. Numerical results show that these two methods are accurate and reliable in handling American options on very large baskets of assets. Moreover we also consider the rough Bergomi model, which provides stochastic volatility with memory. Despite this model is only bidimensional, the whole history of the process impacts on the price, and handling all this information is not obvious at all. To this aim, we present how to adapt the GPR-Tree and GPR-EI methods and we focus on pricing American options in this non-Markovian framework.

研究の動機と目的

• 多変数ブラック・ショールズ・ダイナミクス下での大規模な資産バスケット上のアメリカン・オプションの価格設定のための、効率的かつ高精度な手法の開発。
• 特に基礎資産の数が多い場合に生じる高次元のアメリカン・オプション価格設定の計算的課題に対処すること。
• 完全な履歴依存性がオプション価格に影響を与える非マルコフ的設定、例えば粗いバーゴミ・モデルへのこれらの手法の拡張。
• 最適な行使戦略を近似するための、機械学習と動的計画法を統合した堅牢なフレームワークの提供。

提案手法

• 手法はアメリカン・オプションのベルムーダ近似を用い、後退的動的計画法の問題を段階的に解く。
• 各行使日において、オプション価格は即時行使価値と継続価値の最大値として計算される。
• 継続価値は、基礎資産のシミュレートされた経路に基づいて訓練されたガウス過程回帰（GPR）を用いて推定される。
• GPR-Treeは、単一ステップの二項木近似を用いて継続価値を計算する。
• GPR-EIは、多次元プロセスの確率密度関数を用いた正確な積分により継続価値を計算する。
• GPR-TreeおよびGPR-EIは、GPRの入力特徴に全履歴依存性を組み込むことで、粗いバーゴミ・モデルに適応される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして機械学習を動的計画法と効果的に組み合わせ、高次元のアメリカン・オプションを効率的に価格設定できるか？
• RQ2 ガウス過程回帰は、大規模な資産バスケットを含む高次元設定において、継続価値を高精度に近似できるか？
• RQ3 GPR-TreeおよびGPR-EI手法は、粗いバーゴミ・モデルのような非マルコフ的プロセスにどのように適応できるか？
• RQ4 従来の手法と比較して、これらの手法の精度と計算パフォーマンスは高次元オプション価格設定においてどの程度であるか？

主な発見

• GPR-TreeおよびGPR-EI手法は、多変数ブラック・ショールズ・ダイナミクス下での大規模な資産バスケット上のアメリカン・オプションの価格設定において、高精度かつ信頼性の高い結果を達成している。
• これらの手法は計算効率が高く、従来の手法が計算不能となるような高次元問題に対しても適している。
• GPR-TreeおよびGPR-EIの粗いバーゴミ・モデルへの適応は、履歴依存性のあるボラティリティを効果的に扱い、非マルコフ的設定でも正確な価格設定を可能にした。
• 数値結果から、基礎資産数の著しい増加に対しても、両手法が安定性と精度を維持していることが確認された。