[論文レビュー] Mackey functors on compact closed categories

Ross Street, Elango Panchadcharam|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、豊富な圏論を用いて、Mackey関手をコンパクト閉圏へ一般化し、圏的枠組みにおいて、lextensive圏 𝔈 上のMackey関手の圏がモノイダルであることを確立する。また、そのモノイダル構造において、モノイドがGreen関手であることを示す。主な貢献は、Green関手のMorita同値を、それらの加群圏のCauchy完備化を用いて特徴づけることであり、これは群論における数値的恒等式の構造的類似物に対する圏論的基盤を提供する。

ABSTRACT

We develop and extend the theory of Mackey functors as an application of enriched category theory. We define Mackey functors on a lextensive category $\E$ and investigate the properties of the category of Mackey functors on $\E$. We show that it is a monoidal category and the monoids are Green functors. Mackey functors are seen as providing a setting in which mere numerical equations occurring in the theory of groups can be given a structural foundation. We obtain an explicit description of the objects of the Cauchy completion of a monoidal functor and apply this to examine Morita equivalence of Green functors.

研究の動機と目的

• 豊富な圏論を用いて、群表現論を超えたMackey関手の圏的一般化を提供すること。
• コンパクト閉圏の枠組みに埋め込むことで、Mackey関手およびGreen関手の理論を統一的かつ簡略化すること。
• 群論における数値的恒等式を、圏的同型として解釈することにより、それらの構造的基盤を確立すること。
• Cauchy完備化を用いて、Green関手のMorita同値を特徴づけること。

提案手法

• lextensive圏 𝔈 におけるスパンの圏からk-加群の圏への加法的関手としてMackey関手を定義する。
• Dayの畳み込み構成を用いて、Mackey関手の圏にモノイダル構造を導入する。
• 有限次元Mackey関手の圏が *-自己双対的であることを示し、コンパクト閉圏のスター自己双対構造を一般化する。
• Dressの構成がいつGreen関手を生じるかを説明するために、lax中心構成を適用する。
• 豊富な圏論を用いて、Green関手上の加群およびそのCauchy完備化を定義する。
• 結果 [Da4] および [Li2] を活用し、Cauchy加群圏の同値性を用いてMorita同値を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mackey関手は、有限群を超えて、どのようにして圏論を用いて体系的に一般化できるか？
• RQ2 Mackey関手の圏におけるモノイダル構造は何か？ そして、Mackey代数の構成とはどのように関係するか？
• RQ3 Dressの構成がいつGreen関手を生成するのか？ そして、これは圏的中心を用いてどのように説明できるか？
• RQ4 Green関手のMorita同値は、どのようにして圏的完備化の観点から特徴づけられるか？
• RQ5 コンパクト閉圏は、群論における数値的恒等式の構造的基盤をどのように提供するか？

主な発見

• lextensive圏 𝔈 上のMackey関手の圏はモノイダルであり、畳み込み積は標準的なMackey関手のテンソル積と一致する。
• Green関手は、畳み込み積に関してMackey関手の圏におけるモノイドとして同定される。
• 有限次元Mackey関手の圏は *-自己双対的であり、これはコンパクト閉圏のスター自己双対構造を一般化する。
• Green関手 A と B のMorita同値は、それらのCauchy完備化 Q(A) と Q(B) が W-圏として同値であることと同値である。
• モノイダル関手のCauchy完備化が明示的に記述可能であり、これにより加群圏およびその同値性の圏論的解析が可能になる。