[論文レビュー] Madness and regularity properties

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ZFCにDCを加えたモデルにおいて、最大のほとんど互いに素な（mad）族が存在するが、すべての実数の部分集合が$ω^\omega$-有界で、十分に絶対的な強制法的性質（特にルベーグ可測性）を満たすように構成する。著者らは、$ω^\omega$-有界な一般化の上に新しい合成論法を用いて、ルベーグ可測性がmad族の非存在を示さないことを示し、集合論における重要な独立性問題を解決する。

ABSTRACT

Starting from an inaccessible cardinal, we construct a model of $ZF+DC$ where there exists a mad family and all sets of reals are $\mathbb Q$-measurable for $ω^ω$-bounding sufficiently absolute forcing notions $\mathbb Q$.

研究の動機と目的

• ZF+DCのモデルにおいて、mad族の存在とルベーグ可測性の間の独立性を調査すること。
• すべての実数の部分集合がルベーグ可測であると仮定しても、mad族の存在が整合的であることを示すこと。
• $ω^\omega$-有界で十分に絶対的な強制法的性質が、mad族の非存在を示さないことを示すこと。
• すべての実数の部分集合が$ω^\omega$-有界強制法的可測であり、かつmad族が存在するような、不動点基数から構成されるモデルを構築すること。
• 弱連続体仮説（WCH）がZF+DC + 「すべての実数の部分集合がルベーグ可測である」から独立であることを解明すること。

提案手法

• 強制法的性質$\mathbb{P}$が$H(\kappa)$に属し、$\Gamma$がmad族の近似であるようなペア$(\mathbb{P}, \Gamma)$からなる部分順序$AP$を導入する。
• 有限個の$\Gamma$に属する名前の和集合が、元のモデルの実数によって支配されないことを保証する条件を$AP$に定義し、ほとんど互いに素性を保存する。
• Solovayの方法を適応し、$\omega^\omega$-有界で十分に絶対的な強制法的性質$\mathbb{Q}$の$\mathbb{Q}$-一般化実数の上に、合成論法を用いる。
• $AP$と一般化拡張を組み合わせた強制反復を用いて、すべての実数の部分集合が$\mathbb{Q}$-可測であるモデルを構築する。
• 完全埋め込みによって誘導される自己同型による対称性論法を用い、$\mathbb{R}$からmad族への単射の存在から矛盾を導く。
• 構成の整合性を保証するため、不動点基数の存在に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZF+DCのモデルにおいて、すべての実数の部分集合がルベーグ可測であることは、mad族の非存在を示すか？
• RQ2 すべての実数の部分集合が$\omega^\omega$-有界強制法的性質で可測であるモデルにおいて、mad族が存在しうるか？
• RQ3 弱連続体仮説（WCH）は、ZF+DC + 「すべての実数の部分集合がルベーグ可測である」から独立か？
• RQ4 すべての実数の部分集合が$\mathbb{Q}$-可測であるモデルにおいて、$\mathbb{Q}$が$\omega^\omega$-有界で十分に絶対的であるとき、mad族の存在が整合的に保たれるか？
• RQ5 最小の大きな基数仮定のもとで、mad族の存在は完全なルベーグ可測性と両立可能か？

主な発見

• この論文は、ZFCにDCを加えたモデルにおいて、mad族が存在し、すべての実数の部分集合が$\mathbb{Q}$-可測であるような$ω^\omega$-有界で十分に絶対的な強制法的性質$\mathbb{Q}$を持つモデルを構築した。
• ルベーグ可測性がmad族の非存在を示さないことを証明した。ランダム実数強制法は$ω^\omega$-有界であるため、mad族と両立可能である。
• モデルは$\neg WCH$を満たしており、弱連続体仮説がZF+DC + 「すべての実数の部分集合がルベーグ可測である」から独立であることを示した。
• 強制法の過程で、$\mathbb{Q}$-一般化実数の上に新しい合成論法を用いて、族のほとんど互いに素性を保存した。
• 単射$\mathbb{R}$からmad族への存在が、完全埋め込みによって誘導される自己同型による矛盾を導くことを証明し、族の最大性が保存されることを確認した。
• 結果は不動点基数の存在に依存して整合的であり、従来の構成がウォーディン基数の族を必要としていたのを改善した。