[論文レビュー] Magic state distillation with punctured polar codes

Anirudh Krishna, Jean–Pierre Tillich|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子計算におけるフェイルセーフTゲート実装を可能にするために、パunctured polarコードを用いた魔法状態の蒸留スキームを提案する。極小単項式コードの枠組みから導かれる極小単項式コードとしての極小単項式コードの代数的構造を活用することで、著者らは効率的な逐次キャンセレーションデコードが可能となる三重直交コードを構築した。このコードはO(N log N)の複雑度を有し、ブロックサイズが大きい場合、バイナリ消去チャネルでは誤り率が8×10⁻²⁸、デコherenceチャネルでは7×10⁻¹⁵にまで低下する。

ABSTRACT

We present a scheme for magic state distillation using punctured polar codes. Our results build on some recent work by Bardet et al. (ISIT, 2016) who discovered that polar codes can be described algebraically as decreasing monomial codes. Using this powerful framework, we construct tri-orthogonal quantum codes (Bravyi et al., PRA, 2012) that can be used to distill magic states for the $T$ gate. An advantage of these codes is that they permit the use of the successive cancellation decoder whose time complexity scales as $O(N\log(N))$. We supplement this with numerical simulations for the erasure channel and dephasing channel. We obtain estimates for the dimensions and error rates for the resulting codes for block sizes up to $2^{20}$ for the erasure channel and $2^{16}$ for the dephasing channel. The dimension of the triply-even codes we obtain is shown to scale like $O(N^{0.8})$ for the binary erasure channel at noise rate $0.01$ and $O(N^{0.84})$ for the dephasing channel at noise rate $0.001$. The corresponding bit error rates drop to roughly $8 imes10^{-28}$ for the erasure channel and $7 imes 10^{-15}$ for the dephasing channel respectively.

研究の動機と目的

• フェイルセーフ量子計算における主なボトル neck である魔法状態蒸留のオーバーヘッドを低減すること。
• スケーラブルで低複雑度の量子エラー訂正符号を設計し、高精度なTゲート魔法状態の蒸留を可能とすること。
• 最近の古典的符号理論の進展、特に極小単項式コードとしての極小単項式コードの代数的記述を活用し、三重直交量子符号を構築する基盤とする。
• Bravyi-HaahプロトコルにおけるポストセレクションをSteaneエラー訂正に置き換えることで、より高い蒸留レートと優れたリソース効率を実現すること。
• 現実的なノイズモデル下でのコード次元とエラー訂正能力の観点から、パunctured polarコードの性能を分析すること。

提案手法

• 減少単項式コードフレームワークから導かれる極小単項式コードを用いて、パunctured polarコードを介して三重直交量子符号を構築する。
• 極小単項式コードの逐次キャンセレーション（SC）デコーダーを活用し、ブロックサイズNに対してO(N log N)のデコード複雑度を達成する。
• Bravyi-Haah蒸留プロトコルにおけるポストセレクションをSteaneエラー訂正に置き換えることで、エラー訂正を伴う決定的蒸留を可能にする。
• Bhattacharyyaパラメータを用いて、デコードされた論理的状態のビット誤り率の上界を求める。
• バイナリ消去チャネルおよびデコherenceチャネルの両方について数値シミュレーションを実施し、コード次元と誤り率を推定する。
• 極小単項式コードの代数的構造を活用して、得られたコードが三重直交的であり、Tゲート蒸留に適していることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パunctured polarコードを用いて、魔法状態蒸留に適した三重直交コードを構築できるか？
• RQ2 異なるノイズモデル下で、パunctured polarコードの論理的コード次元はブロックサイズとともにどのようにスケーリングするか？
• RQ3 Bravyi-Haahプロトコルにおけるポストセレクションと比較して、逐次キャンセレーションデコーダーのエラー訂正性能はどの程度か？
• RQ4 Bhattacharyyaパラメータは、この量子蒸留スキームにおけるビット誤り率を信頼性高く上界付けるのに適しているか？
• RQ5 パunctured polarコードの誤り率およびコード次元は、魔法状態蒸留におけるReed-Mullerコードと比較してどの程度か？

主な発見

• バイナリ消去チャネルでノイズ率0.01の下で、パunctured polarコードから得られる三重偶数コードの次元はO(N⁰.⁸)にスケーリングする。
• デコherenceチャネルでノイズ率0.001の下で、コード次元はO(N⁰.⁸⁴)にスケーリングする。
• バイナリ消去チャネルでは、ブロックサイズ2²⁰（1,048,576）でビット誤り率が約8×10⁻²⁸にまで低下する。
• デコherenceチャネルでは、ブロックサイズ2¹⁶（65,536）でビット誤り率が約7×10⁻¹⁵に達する。
• 逐次キャンセレーションデコーダーはO(N log N)のデコード複雑度を実現し、類似コードの従来のデコーダーと比較して著しく効率が向上する。
• ポストセレクションの代わりにSteaneエラー訂正を用いることで、より高い蒸留レートと優れたリソース利用効率が実現できる。