[論文レビュー] Mahler's method in several variables I: The theory of regular singular systems

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形正則特異系に対するMahler法の多変数拡張を開発し、代数的点におけるMahler関数の値の代数的関係が、$\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上で関数自体の間の代数的関係に持ち上げられることを証明する。さらに、それらの行列変換が十分に異なる場合、異なる系に付随するMahler関数の値は代数的に独立であることが示され、1変数の場合の先行結果を一般化し、自動機理論や基数変換問題への応用の基盤を提供する。

ABSTRACT

This is the first part of a work devoted to the study of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence. We prove two main results concerning systems that are regular singular at the origin. Our interest in Mahler's method comes from the possible applications of these results to old problems involving automata theory and which concern the expansion of both natural numbers and real numbers in integer bases. In particular, problems which involve finite automata and base change. Such applications are studied in Part II of this work.

研究の動機と目的

• 正則特異線形Mahler系の多変数理論を、超越論および代数的独立性の観点から包括的に構築すること。
• Nesterenko–Shidlovskii–Beukers–Andréの持ち上げ原理を多変数設定に一般化すること。
• 異なる行列変換に付随するMahler関数の値の代数的独立性を確立すること。
• 有限オートマトンおよび基数変換に関連する問題における応用の理論的基盤を築くこと。
• Mahler関数値の独立性に関するvan der Poortenの長年の予想に応える最初の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、分岐するメロモーフィックゲージ変換によって定数可逆行列系に共役化される系として、多変数における正則特異系の概念を導入する。
• 解の構造とその代数的関係を分析するために、Mahler系の族と多変数指数関数的多項式に基づく公理的枠組みを採用する。
• 評価理論と体$\mathbb{L}$の形式的定式化を用いて、変換された点における多項式の挙動を制御する新しい消失定理を開発する。
• 反復関数的関係と係数$\tau_{j,\mathbf{k}}$の構造に依拠して、特定の点で消失することは、関数全体の消失を示す。
• 解析的ゲージ変換を用いて一般ケースをより単純なケースに還元し、収束性と代数的構造をきめ細かく制御する。
• 理論を応用して、異なるMahler関数の値間の代数的関係のイデアルが、各システム内での純粋な関係によって生成されることを示し、システム間の関係が自明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的点における多変数Mahler関数の値の代数的関係は、$\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上で関数自体の間の代数的関係に持ち上げられるか？
• RQ2 異なる行列変換に付随するMahler関数の値が、代数的点においていつ代数的に独立となるか？
• RQ3 古典的なNesterenko–Shidlovskiiの持ち上げ原理は、正則特異Mahler系の多変数設定にどの程度拡張可能か？
• RQ4 正則特異系の構造をどのように用いて、Mahler関数族の独立性結果を導出できるか？
• RQ5 この理論は、基数変換および有限オートマトンの展開に関連する自動機理論の問題を解くために応用可能か？

主な発見

• 正則特異Mahler系の値$f_1(\boldsymbol{\alpha}), \ldots, f_m(\boldsymbol{\alpha})$の$\overline{\mathbb{Q}}$上の斉次代数的関係は、$\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上で関数$f_1(\mathbf{z}), \ldots, f_m(\mathbf{z})$の類似の代数的関係に持ち上げられる。
• 異なるシステムに付随するMahler関数の値間の代数的関係のイデアルは、各個々のシステム内での純粋な代数的関係によって生成され、システム間の関係は自明であることを示唆する。
• 基礎となる行列変換が十分に異なる場合、独立性結果が成り立ち、NishiokaおよびMasserによる以前の散発的結果を一般化する。
• 理論は、定数可逆行列系に分岐するメロモーフィックゲージ変換によって共役化される系、いわゆる正則特異と呼ばれるクラスに適用可能である。
• 結果は、多変数Mahler系における超越論および代数的独立性を研究するための基盤的枠組みを提供し、自動機理論および基数展開問題への応用に含意をもたらす。
• 本稿では、正則特異系におけるShidlovskii型定理の多変数類似を確立し、微分方程式および差分方程式の既知の結果をMahler設定に拡張する。