[論文レビュー] Mahler's method in several variables II: Applications to base change problems and finite automata

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複数変数におけるMahlerの手法を拡張し、基底変換問題を解き、代数的独立性の観点から有限オートマトンを研究する。Part Iにおける持ち上げ定理と純粋性結果を活用することで、スペクトル半径が乗法的に依存するMahler関数は、十分に独立した代数的点において代数的独立な値をとることを証明した。これにより、オートマトン的数表現やHecke–Mahler級数への応用が可能になった。

ABSTRACT

This is the second part of a work devoted to the study of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence. From the lifting theorem obtained in the first part, we first derive a general result, showing that Mahler functions in several variables, associated with transformations having multiplicatively dependent spectral radii, take algebraic independent values at algebraic points provided that these points are sufficiently independent. Then, we focus on applications of this result and of the two main results of Part I of this work. Our main application concerns problems about the representation of natural and real numbers in integer bases involving automata theory. These can be translated in terms of algebraic relations over $\overline{\mathbb Q}$ between values of Mahler functions in one variable. We also apply our results to the algebraic independence of Mahler functions and their specializations, and to the study of the values of Hecke-Mahler series.

研究の動機と目的

• 変換行列のスペクトル半径が乗法的に依存する場合に、複数変数におけるMahler関数の代数的独立性に関する一般結果を確立すること。
• Part Iの持ち上げ定理と純粋性定理を応用し、オートマトン理論における基底変換問題を解くこと。
• 多変数Mahler関数の特殊化と代数的点における値の代数的独立性を分析すること。
• Mahlerシステムの枠組みを用いて、Hecke–Mahler級数の値の代数的独立性を調査すること。
• 有限オートマトン的数表現問題を、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の代数的独立性問題に体系的に翻訳する手法を構築すること。

提案手法

• Part Iの持ち上げ定理を用い、代数的点におけるMahler関数の値の代数的関係を、$\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上の関数自体の代数的関係へと持ち上げる。
• 純粋性定理を適用し、スペクトル半径が乗法的に独立である場合に、複数のMahlerシステムにおける代数的独立性の研究を個々のシステムに還元する。
• 一変数関数 $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$ やHecke–Mahler級数 $\mathfrak{f}_\omega(z) = \sum \lfloor n\omega \rfloor z^n$ を適切な特殊化により、多変数Mahlerシステムとして表現する。
• 正則特異Mahlerシステムの形式的枠組みを用い、有限オートマトンや基数$b$表現に関する問題を、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の代数的独立性問題に翻訳する。
• マトリョシカドールの原理を用いて、多変数システムにおけるネストされた代数的関係を再帰的に分析する。
• 超越論およびS単数方程式の結果を応用し、値の代数的独立性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的点における複数変数Mahler関数の値が、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上で代数的独立となる条件は何か？
• RQ2 オートマトン理論における基底変換問題は、どのようにMahler関数値の代数的独立性に還元できるか？
• RQ3 複数変数におけるMahlerの手法を用いて、Hecke–Mahler級数の値が代数的独立であることを示せるか？
• RQ4 多変数Mahler関数の特殊化の代数的独立性は、その背後にあるシステムの構造からどの程度同定可能か？
• RQ5 変換行列のスペクトル半径の乗法的依存性が、Mahler関数値の代数的独立性に与える影響は何か？

主な発見

• 多変数Mahlerシステムにおける変換行列のスペクトル半径が乗法的に依存する場合、それに対応するMahler関数の値は、十分に独立した代数的点において $\overline{\mathbb{Q}}$ 上で代数的独立である。
• $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$ に対して、$\mathfrak{f}(1/2)$ と $\mathfrak{f}(1/3)$ の代数的独立性は、$\mathfrak{f}(z)$ の超越性と持ち上げ定理から導かれる。
• 適切な条件下では、Hecke–Mahler級数 $\mathfrak{f}_\omega(z)$ の代数的点における値は代数的独立であり、これは2変数Mahler関数の特殊化としての表現により示された。
• 多変数Mahlerシステムの形式的枠組みにより、1変数関数の異なる点における値の代数的関係を扱えるようになり、古典的Mahler理論の制限を克服した。
• マトリョシカドールの原理により、多変数システムにおけるネストされた代数的関係の再帰的解析が可能となり、複雑な依存関係の研究が促進された。
• 本稿は、オートマトン的数表現と代数的独立性の間の橋渡しをした。基数$b$の正規性や自動性に関する問題が、Mahlerの手法を用いて取り扱えることが示された。