[論文レビュー] Mahonian STAT on rearrangement class of words

Shishuo Fu, Ting Hua+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、語の再配置類 R(w) 上に明示的な対合 φ を構成し、六重統計量 (des, Id, F, MAJ, STAT) と (des, Id, F, STAT, MAJ) の同時等分布性を確立する。この対合によって、STAT と MAJ が交換されても等分布が保たれることを示している。この手法は、バーツタインの対合、フォアタ＝シュッツェンベルガーの対合、および RSK アルゴリズムを組み合わせ、MAJ と STAT を交換しながらも、主要な統計量を保存する。この結果は、置換から語の再配置類へと、マホニアン統計の等分布結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In 2000, Babson and Steingrímsson generalized the notion of permutation patterns to the so-called vincular patterns, and they showed that many Mahonian statistics can be expressed as sums of vincular pattern occurrence statistics. STAT is one of such Mahonian statistics discoverd by them. In 2016, Kitaev and the third author introduced a words analogue of STAT and proved a joint equidistribution result involving two sextuple statistics on the whole set of words with fixed length and alphabet. Moreover, their computer experiments hinted at a finer involution on $R(w)$, the rearrangement class of a given word $w$. We construct such an involution in this paper, which yields a comparable joint equidistribution between two sextuple statistics over $R(w)$. Our involution builds on Burstein's involution and Foata-Schützenberger's involution that utilizes the celebrated RSK algorithm.

研究の動機と目的

• 置換から語の再配置類へ、マホニアン統計 (MAJ, STAT) の同時等分布性を拡張すること。
• キタエフとバヨノフスキー (2016) が提起した予想を、語 w の再配置類 R(w) 上に明示的な対合を構成することで解決すること。
• MAJ と STAT を交換しつつ、逆降下集合 Id および他の主要統計量を保存すること。
• 再配置類では適切に定義されない Adj の代わりに Id を用いることで、R(w) 上での精緻化された等分布結果を提供すること。
• 置換および語に関する従来の等分布定理を、RSK を用いた対合の枠組みで再配置類の文脈に一般化すること。

提案手法

• 置換上に、des, Id, F を保存し、MAJ と STAT を交換する対合 φ を構成する。
• RSK アルゴリズムを用いて、列に対して写像 j を定義し、置換の上部と下部に適用して φ の像を定義する。
• 符号写像 c を用いて、語と置換の間を変換し、対合を再配置類 R(w) 上に持ち上げる。
• 逆 RSK アルゴリズムを用いて、標準ヤング盤のペアから置換を再構成し、全単射性と可逆性を保証する。
• φ が対合（φ² = 1）であることを利用し、交換された統計量の等分布を保証する。
• 対合が固定点数 F および逆降下集合 Id を保存することを検証し、等分布結果に不可欠であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語 w の再配置類 R(w) 上で、(des, Id, F, MAJ, STAT) と (des, Id, F, STAT, MAJ) の同時等分布性が、置換や全語集合における既知の結果と同様に確立可能か？
• RQ2 R(w) 上に、MAJ と STAT を交換しつつ、des, Id, F を保存する明示的な対合が存在するか？
• RQ3 RSK アルゴリズムを用いて、語の再配置類の文脈でこのような対合をどのように構成できるか？
• RQ4 アルファベットの k-拡張（文字を小文字と大文字に分割）において、統計量を再定義することで、この等分布結果を拡張可能か？
• RQ5 この等分布性が、再配置類におけるオイラー＝マホニアン統計の分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、対称群 S_n 上に、des, Id, F を保存し、MAJ(φ(π)) = STAT(π) および STAT(φ(π)) = MAJ(π) を満たす明示的な対合 φ を構成し、(des, Id, F, MAJ, STAT) と (des, Id, F, STAT, MAJ) の同時等分布性を証明する。
• 符号写像 c を用いて、対合 φ を再配置類 R(w) 上に持ち上げ、φ_{R(w)} を得る。この対合は、des, Id, F を保存しつつ、MAJ と STAT を交換する。
• 主たる結果は補題 1.5 であり、任意の語 w に対して、R(w) 上で (des, Id, F, MAJ, STAT) と (des, Id, F, STAT, MAJ) が同じ同時分布を持つことを確立する。
• 対合は逆降下集合 Id を保存するため、des と ides が一意に決定され、これにより補題 1.6 が得られる：IMAJ を Adj の代わりに用いた同時等分布が成立する。
• 例として、v = 4 3 4 4 2 1 6 5 1 が R(w) に属し、(des, Id, F, MAJ, STAT) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21) である。φ_{R(w)}(v) = 4 1 6 4 3 2 4 5 1 であり、(des, Id, F, STAT, MAJ) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21) となる。交換が確認された。
• この結果により、(des, STAT) が再配置類上での新しいオイラー＝マホニアン対を形成することが確認され、既知の統計量の族への拡張が達成された。