[論文レビュー] Equidistributions of MAJ and STAT over pattern avoiding permutations

Joanna N. Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$S_n(213)$ から $S_n(231)$ への新しい双対写像を構築し、統計の対 $(maj, stat)$ を $(stat, maj)$ に写す。これにより、Aminiによるパターン回避順列におけるマホニアン統計の等分布に関するいくつかの予想に対する双対的証明が得られる。主な結果は、これらの順列クラスにおいて主要インデックスと $stat$ 統計の間の直接的な対称性を確立する。

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns and showed that most of the Mahonian statistics in the literature can be expressed by the combination of generalized pattern functions. Particularly, they defined a new Mahonian statistic in terms of generalized pattern functions, which is denoted $stat$. Recently, Amini investigated the equidistributions of these Mahonian statistics over sets of pattern avoiding permutations. Moreover, he posed several conjectures. In this paper, we construct a bijection from $S_n(213)$ to $S_n(231)$, which maps the statistic $(maj,stat)$ to the statistic $(stat,maj)$. This allows us to give solutions to some of Amini's conjectures.

研究の動機と目的

• パターン回避順列におけるマホニアン統計の等分布に関するAminiの未解決予想を解消すること。
• $S_n(213)$ と $S_n(231)$ の間で $maj$ と $stat$ 統計を入れ替える双対的接続を確立すること。
• 生成関数や数え上げによって以前に示唆された等分布結果を、構成的で組合せ論的な証明で与えること。
• 一般化された順列パターンとそれらがマホニアン統計の等分布に果たす役割の理解を深めること。
• $adj$ 統計を保存しない新しい双対写像を提供し、Burstein や Chen-Li の既存の構成とは区別されること。

提案手法

• 最初の要素 $k$ による順列のブロック分解に基づいて、写像 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$ を構築する。
• 順列を $\pi = k\pi'\pi''$ と再帰的に分解し、$\pi'$ は $k$ より小さい要素、$\pi''$ は $k$ より大きい要素を含む。
• 降下構造を保つために、反転とシフトを用いたブロック $\pi'$ と $\pi''$ の再順序化変換 $\phi$ を適用する。
• 恒等式 $maj(\pi) + stat(\pi) = (n+1)des(\pi) - (k-1)$ を用いて、双対写像上での $maj$ と $stat$ の関係を確立する。
• $des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$ および $ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$ を利用し、降下の対称性を維持する。
• ブロック分解と双対写像を用いて、生成関数 $M_n(q,t) = \sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} t^{des(\pi)}$ の再帰的関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Aminiが予想したように、$S_n(213)$ における統計 $maj$ と $S_n(231)$ における $stat$ は等分布するか？
• RQ2 $S_n(213)$ と $S_n(231)$ の間の写像によって、$maj$ と $stat$ が入れ替わることを双対的証明で示せるか？
• RQ3 双対写像から導かれる $M_n(q,t)$ の再帰的関係は、$S_n(213)$ の既知の生成関数恒等式と一致するか？
• RQ4 Burstein や Chen-Li の既存の構成と比較して、この新しい双対写像はどのような統計を保存するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、$S_n(132)$ における $mak$ 統計が $S_n(213)$ における $stat$ と等分布することを示せるか？

主な発見

• 写像 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$ は、$maj(\pi) = stat(\alpha(\pi))$ および $stat(\pi) = maj(\alpha(\pi))$ を満たすwell-definedな双対写像である。
• この双対写像は降下数を保存する：$des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$ であり、$ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$ を満たす。
• 生成関数 $M_n(q,t)$ に対して、$M_n(q,t) = M_{n-1}(q,t) + \sum_{k=1}^{n-1} q^k t M_{k-1}(q, qt) M_{n-k}(q, q^k t)$ という再帰的関係が成り立つ。
• この構成により、予想1.2が解決される：$\sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} = \sum_{\pi \in S_n(231)} q^{stat(\pi)}$。
• この結果は、$S_n(213)$ における $(maj, stat)$ の同時分布が、$S_n(231)$ における $(stat, maj)$ の同時分布と等分布することを示唆する。
• この双対写像は、Burstein や Chen-Li の既存の写像の制限ではないため、等分布の観点から別個の構造的アプローチを示している。