[論文レビュー] Main conjectures for higher rank nearly ordinary families -- I

Kâzım Büyükboduk, Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の次元の変形環上における高ランクガロア表現のイwasawa理論の基礎的枠組みを確立し、一般化されたコールマン写像と局所制限付きオイラー系の次元削減技術を導入する。Beilinson–Flach オイラー系を用いて、3変数の主予想の可除性をランキン＝セルバーグ $p$-進 $L$-関数に対して証明し、$p$-進体上の形式的べき級数環を係数に持つほぼ通常族へ既存結果を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we present the first half of our project on the Iwasawa theory of higher rank Galois deformations over deformations rings of arbitrary dimension. We develop a theory of Coleman maps for a very general class of coefficient rings, devise a dimension reduction procedure for locally restricted Euler systems and finally, put these into use in order to prove a divisibility in a 3-variable main conjecture for nearly ordinary families of Rankin-Selberg convolutions.

研究の動機と目的

• 任意のクルール次元をもつ環上における高ランクガロア変形理論におけるイwasawa主予想の一般的枠組みを構築すること。
• 複数変数の $p$-進体上の形式的べき級数環の有限拡大を係数に持つほぼ通常ガロア変形のためのコールマン写像を構成すること。
• 2つのヒダ族のランキン＝セルバーグ畳み込みの円分変形における3変数主予想の可除性を証明すること。
• コールマン写像の新フレームワークとBeilinson–Flach オイラー系を用いて、ヒダの $p$-進 $L$-関数の新規構成を与えること。

提案手法

• 任意の数の変数における $p$-進体上の形式的べき級数環を含む一般クラスの係数環に対するコールマン写像の理論を構築する。
• 高次元の変形環上でのセレマー群を制御するために、局所制限付きオイラー系の次元削減手続きを導入する。
• 【KLZ17】の3変数Beilinson–Flach類にコールマン写像の構成を適用し、$p$-進 $L$-関数と結びつける。
• 得られたオイラー系を用いて、ランキン＝セルバーグ $p$-進 $L$-関数の3変数主予想における可除性を証明する。
• ヒダの $p$-進 $L$-関数の補間性質と非消滅性の議論を用いて、重要なコホモロジー類の非自明性を確立する。
• 通常商とディエュドネ加群の同型を用いて、コホモロジー的類を $p$-進 $L$-値に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のクルール次元をもつ係数環、特に複数変数の形式的べき級数環に対して、コールマン写像をどのように一般化できるか。
• RQ2 局所制限付きオイラー系に対して、高次元の変形環上でのセレマー群を制御するための次元削減技術を開発できるか。
• RQ3 Beilinson–Flach オイラー系が、高ランクイwasawa主予想における可除性に関する命題をどれほどまでに利用できるか。
• RQ4 コールマン写像とオイラー系を用いた新規構成によって、ランキン＝セルバーグ畳み込みのヒダの $p$-進 $L$-関数を再構成できるか。
• RQ5 局所コホモロジーにおけるBeilinson–Flach類の像の非消滅性を保証する条件は何か。また、これは $p$-進 $L$-関数の非消滅性とどのように関係するか。

主な発見

• コールマン写像を用いて構成された $p$-進 $L$-関数 $L_p^{\textup{BF}}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ は、ヒダの $p$-進 $L$-関数 $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ と一致し、3変数設定において両者の一致が確立された。
• 局所コホモロジーにおけるBeilinson–Flach類 $\mathrm{res}_p(\mathbf{BF}^{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2}_1)$ の像は非自明であり、特定の特殊化において $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ の非消滅性によって示された。
• 3変数主予想において可除性関係が成り立つ：$\textup{char}_{\mathbb{I}\widehat{\otimes}\mathbb{I}\widehat{\otimes}\Lambda_{\textup{cyc}}}(H^1_{\mathcal{F}_{\textup{Gr}}^{*}}(\mathbb{Q},\mathbb{T}_{\textup{cyc}}^\vee(1))^\vee \otimes \cdots) \supset (H \cdot L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j}))$。
• $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ の非消滅性は、重み $w_1 > w_2 + 2$ における特殊化が非ゼロであることを示すことにより確立され、ヘッケ固有値のアーキメデス的評価に依拠する。
• $H^1_{+\!/^\textup{f}}(\mathbb{Q}_p,\mathbb{T}_{\textup{cyc}}) \cong \mathbb{D}(F^{-+}\mathbb{T}_{\textup{cyc}})$ の同型により、ディエュドネ理論を用いてコホモロジー的類と $p$-進 $L$-値を結びつけることができる。
• コールマン写像の構成により、ヒダの $p$-進 $L$-関数の新規導出が可能となり、【KLZ17, 定理B】の手法と整合的であるが、今や高ランク・多変数設定において成立する。