[論文レビュー] $p$-adic heights of Heegner points and Beilinson-Flach elements

Francesc Castella|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$Π$ 上の非正定的シャイムラー曲線におけるヘーグナー点の $λ$-adic グロス–ザジエール公式の、新しいイワサワ理論的証明を提示する。Howardの結果を非分解ハミルトン代数の状況にまで拡張する。主な貢献は、ベイリンソン–フラッチ類と明示的再結合法を用いて、2変数 $p$-進 $L$-関数の円分微分とヘーグナー点の円分 $p$-進高さを関連付ける $λ$-adic グロス–ザジエール公式を確立することにある。

ABSTRACT

We give a new proof of Howard's $Λ$-adic Gross-Zagier formula, which we extend to the context of indefinite Shimura curves over $\mathbf{Q}$ attached to nonsplit quaternion algebras. This formula relates the cyclotomic derivative of a two-variable $p$-adic $L$-function restricted to the anticyclotomic line to the cyclotomic $p$-adic heights of Heegner points over the anticyclotomic tower, and our proof, rather than inspired by the original approaches of Gross-Zagier and Perrin-Riou, is via Iwasawa theory, based on the connection between Heegner points, Beilinson-Flach elements, and their explicit reciprocity laws.

研究の動機と目的

• 非正定的シャイムラー曲線上のヘーグナー点における $λ$-adic グロス–ザジエール公式の、新しいイワサワ理論的証明を提供すること。
• Howardの $λ$-adic グロス–ザジエール公式を、非分解ハミルトン代数および非正定的シャイムラー曲線の文脈にまで拡張すること。
• 2変数 $p$-進 $L$-関数の円分微分と、アントシアクロトミック塔におけるヘーグナー点の $p$-進高さとの間の明確な関係を確立すること。
• ベイリンソン–フラッチ類および明示的再結合法に基づく手法が、通常型かつランク1の設定を超えて一般化可能であることを示すこと。

提案手法

• 中心的値を補間するランキン–セルバーグ $L$-関数の $p$-進 $L$-関数 $L_p(f/K)$ におけるイワサワ理論を用いる。
• 明示的再結合法を適用して、ベイリンソン–フラッチ類とセレール群 $\mathrm{Sel}(K,\mathbf{T}^{\mathrm{ac}})$ 内のヘーグナー点を関連付ける。
• ヘーグナー点の $p$-進高さを測るため、円分 $\Lambda^{\mathrm{ac}}$-adic 高さペアリング $\langle \cdot, \cdot \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}}$ を用いる。
• $\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 内のイデアルとして、等式 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$ を確立する。
• 制御定理および $p$-進 $L$-関数の $\mu$-不変量の消滅に依拠して、特徴的イデアルの整数性と等式を導出する。
• ベイリンソン–フラッチ類の理論と、それらのヘーグナー点への特殊化を用いて、$p$-進 $L$-関数と算術的不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、イワサワ理論とベイリンソン–フラッチ類を用いて $λ$-adic グロス–ザジエール公式を再証明できるか？
• RQ2 2変数 $p$-進 $L$-関数の円分微分と、アントシアクロトミック塔におけるヘーグナー点の $p$-進高さとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 本稿の手法は、高重量モジュラー形式や超特異 $p$-進 $L$-関数の状況に一般化可能か？
• RQ4 $p$-進 $L$-関数の $\mu$-不変量がどのような条件下で消えるか？ これにより特徴的イデアルの整数性が保証される。
• RQ5 ベイリンソン–フラッチ類の明示的再結合法は、シャイムラー曲線上のヘーグナー点の算術とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 内のイデアルとして、等式 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$ を確立し、$λ$-adic グロス–ザジエール公式を証明した。
• 証明はイワサワ理論およびベイリンソン–フラッチ類の明示的再結合法に基づくものであり、元々のグロス–ザジエールおよびペルリエ・ルアの手法とは独立した新しい手法を提供する。
• $p$-進 $L$-関数 $\mathscr{L}^{\tt BDP}_{\mathfrak{p}}(f/K)$ の $\mu$-不変量は、絶対的既約性および $E[p]$ が $N^{-}$ を割る素数で分岐するという仮定の下で消える。
• セレール群 $X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A}^{\mathrm{ac}})$ の特徴的イデアルが、$p$-進 $L$-関数のイデアルの平方に $p$ のべき乗を除いて等しいことが示された。
• この手法は、後に続く研究によって確認されたように、高重量や超特異の場合への一般化が可能であることが示された。
• 標準的仮定の下で、$Ch_{\Lambda_{R_0}}(X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A})_{R_0}) \subseteq (\mathscr{L}_{\mathfrak{p}}(f/K))$ の包含関係が成り立ち、$\mu$-不変量の消滅によって整数性が達成される。