[論文レビュー] Major Index Over Descent for Pattern-avoiding Permutations

William J. Keith|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定された降下数をもつ321を避ける置換における主要指数の分布の公式を提示し、2つの降下をもつ場合の単峰性を証明する。2行の分割に対するFrame-Robinson-Thrallのフック長の$q$-アナローグを精緻化し、標準ヤン盤と関連づけ、321を避ける置換における主要指数の単峰性分布に関する長年の予想の証明への道筋を提示する。

ABSTRACT

An open conjecture in pattern avoidance theory is that the distribution of the major index among 321-avoiding permutations is distributed unimodally. We construct a formula for this distribution, and in the case of 2 descents prove unimodality, with unimodality for 3 through 5 descents likely being little more complicated. The formula refines the $q$-analogue of the Frame-Robinson-Thrall hooklength formula for two-rowed partitions, and in the latter part of the paper we discuss another theorem of the same type, and further exploration toward this question. We also give observations on the analogous behaviors for other permutation patterns of length 3.

研究の動機と目的

• 固定された降下数をもつ321を避ける置換における主要指数の分布が単峰的であるという未解決予想を解決すること。
• 形状$(n-k,k)$の標準ヤン盤において$i$個の降下をもつ主要指数の母関数の閉形式公式を導出すること。
• 組合せ論的および代数的技法を用いて、2つの降下をもつ場合の単峰性を確立すること。
• パターン回避置換、標準ヤン盤、および$q$-アナローグフック長公式との間の関係を調査すること。
• より高い降下数に対する単峰性証明を一般化する基盤を築くこと。

提案手法

• 形状$(n-k,k)$で$i$個の降下をもつ標準ヤン盤における主要指数の母関数$f_{(n-k,k),i}(q)$の閉形式公式を導出する。
• Frame-Robinson-Thrallのフック長の公式を出発点とし、$q$-二項係数と$q$-整数を用いて精緻化する。
• 再帰関係と異なる形状のヤン盤間の双対写像を用いて、特に$i=2$の場合の基本ケースを証明する。
• 再帰代入から生じる複雑な$q$-二項恒等式の検証に記号計算を適用する。
• 2つの降下をもつ形状$(m,k,1)$のヤン盤と2つの降下をもつ形状$(m+1,k+1)$のヤン盤との間で、主要指数を1増加させる双対写像を確立する。
• Robinson-Schensted対応および$q$-対称的かつ単峰的な多項式に関する既知の結果を活用して、予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$k$に対して、$k$個の降下をもつ321を避ける置換における主要指数の分布は単峰的か？
• RQ2 形状$(n-k,k)$の標準ヤン盤において$i$個の降下をもつ主要指数の母関数の閉形式公式を導出可能か？
• RQ3 すべての$n,k,i$に対して多項式$f_{(n-k,k),i}(q)$は対称的かつ単峰的か？
• RQ4 パターン回避置換とStanleyのフック長の公式（標準ヤン盤に対して）との間の構造的関係は何か？
• RQ5 2行および3行の形状に対して用いられた再帰法は、任意の分割へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、閉形式公式を導出する：$f_{(n-k,k),i}(q)=\frac{q^{k+i^{2}-i}(1-q^{n-2k+1})}{1-q^{i}}\left[{{k-1}\atop{i-1}}\right]_{q}\left[{{n-k}\atop{i-1}}\right]_{q}$、これは形状$(n-k,k)$で$i$個の降下をもつ標準ヤン盤における主要指数の母関数を与える。
• $i=2$の場合、多項式$f_{(n-k,k),2}(q)$は中心項が$n$に位置する対称的かつ単峰的であり、これは$A_{n,2}(q)$が単峰的であることを示唆する。
• $i=1$の場合は直接的な組合せ論的議論により単峰的である：$A_{n,1}(q) = (1+q)^n - \sum_{j=0}^{n} q^j$。
• 数値的検証により、$n \leq 30$において$f_{(n-k,k),i}(q)$が対称的かつ単峰的であることが支持され、全予想が成立する可能性を示唆する。
• 3行の形状$(m,k,1)$のための公式は$f_{(m,k,1),i}(q)=q^{k+i^{2}-2i+2}\frac{(1-q^{m-k+1})(1-q^{i-1})}{(1-q^{i})(1-q)}\left[{k\atop{i-1}}\right]_{q}\left[{{m+1}\atop{i-1}}\right]_{q}$として導出され、再帰と双対写像により検証された。
• 再帰法は小さな$i$および特定の形状に限定されており、2行および3行のケースを超えて一般化するには、より深い対称関数論の理論が必要であると示唆される。