[論文レビュー] Managing gamma_5 in Dimensional Regularization and ABJ Anomaly

Ruggero Ferrari|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、次元正則化におけるディラック・ガンマ行列のトレースに $ \gamma_5$ を含む場合に一貫して定義できる、グラスマン変数を用いた新しい積分表現を提案する。この方法はローレンツ共変性を保ちつつ、自然にABJ異常を再現する。1ループにおける局所的汎関数方程式（LFE）とも整合し、カレントの異常を含むカレントの異常を含むチャーラル場理論における共変かつ異常なしの枠組みを提供する。

ABSTRACT

An integral representation is proposed for the trace involving gamma_5 in dimensional regularization. Lorentz covariance is preserved. ABJ anomaly naturally follows. The Local Functional Equation associated to x-dependent chiral transformations is verified.

研究の動機と目的

• 次元正則化における $\gamma_5$ を一貫して定義するという長年の課題を解決すること。
• 追加の手作業的仮定なしにABJ異常を自然に再現できる正則化スキームを提供すること。
• 提案されたトレース定義がチャーラル対称性のための局所的汎関数方程式（LFE）と1ループで整合することを確認すること。
• 任意の時空次元 $D$ における $\gamma_5$ を含むトレースの閉形式の公式を確立すること。
• 提案された形式主義において、トレースの巡回性とガンマ行列のクリフォード代数が保たれることを保証すること。

提案手法

• グレイスマン変数 $\bar{c}_i$ と $\chi_\mu$ を用いた、トレース $\mathrm{Tr}(\not{p}_1\dots\not{p}_N\gamma_5)$ の積分表現を導入し、これらの変数における2次形式を含む生成関数を用いる。
• グレイスマン積分の規則を用いて、完全に縮約された単項式からのみ非ゼロの寄与を抽出し、適切なトレース構造を保証する。
• 偶数 $N$ において $\gamma_5$ を含まない場合にガンマ行列代数とトレースの巡回性が保たれることを示し、グレイスマン積分を用いて $\gamma_5$ を含む場合に拡張する。
• $D$ における解析接続を用いて、トレースをメロモルフィック関数として定義し、フェニマン振幅の次元正則化を可能にする。
• 一例として軸性異常を計算し、明示的な1ループ計算によりABJ結果と一致することを示す。
• $x$-依存のチャーラル変換から導かれるウォード恒等式との整合性を確認することで、1ループにおける局所的汎関数方程式（LFE）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元正則化において、$\mathrm{Tr}(\not{p}_1\dots\not{p}_N\gamma_5)$ を一貫的かつローレンツ共変的に定義することは可能か？
• RQ2 提案された積分表現がクリフォード代数とトレースの巡回性を保っているか？
• RQ3 ABJ異常は、追加の仮定なしにトレース形式主義から自然に導けるか？
• RQ4 この正則化スキームにおいて $\gamma_5$ の存在下でも局所的汎関数方程式（LFE）が満たされるか？
• RQ5 グレイスマン積分法は、$\gamma_5$ の存在にもかかわらず、LFEにおける異常なしをどのように保証するか？

主な発見

• 提案された積分表現は、$\gamma_5$ を含まないトレースにおいて、ガンマ行列のクリフォード代数を正しく再現し、トレースの巡回性を維持する。
• $\gamma_5$ をグレイスマン積分を用いて含めることで、ローレンツ共変性が保たれ、$D$ 次元における一貫した次元正則化が可能になる。
• ABJ異常は形式主義から自然かつ洗練されて導かれる。異常は $D-4$ に比例し、4次元における期待通りの振る舞いを示す。
• 1ループ計算により、軸性カレントの異常が標準的なABJ結果と一致することが確認された：$2i/(4\pi)^2 \, \mathrm{Tr}[\gamma_5 \gamma_\rho \not{p} \gamma_\sigma \not{k}]$。
• 局所的汎関数方程式（LFE）は1ループで検証され、異常がLFEの対称性構造を破っていないことが示された。
• この方法により、$\gamma_5$ を含むトレースの閉形式の式が得られ、異常は $D$ 次元トレースの $\epsilon$-依存性から生じる。