[論文レビュー] Manifolds with positive orthogonal Ricci curvature

Lei Ni, Qingsong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正の直交リッチ曲率（$Ric^\perp > 0$）をもつコンpakto Kähler多様体を調査し、$b_2 = 1$ かつ Kähler C-空間、および $\mathbb{P}^1$ 因子を含まないコンパクトなヘルミート対称空間が、このような計量をもつことを確立している。3次元および4次元における分類結果を示し、3次元では $Ric^\perp > 0$ が有理的連結性を意味することを示し、4次元では多様体は $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ であるか、特定のファイブレーション構造を持つことになる。

ABSTRACT

In this paper we study the class of compact Kähler manifolds with positive orthogonal Ricci curvature: $Ric^\perp>0$. First we illustrate examples of Kähler manifolds with $Ric^\perp>0$ on Kähler C-spaces, and construct ones on certain projectivized vector bundles. These examples show the abundance of Kähler manifolds which admit metrics of $Ric^\perp>0$. Secondly we prove some (algebraic) geometric consequences of the condition $Ric^\perp>0$ to illustrate that the condition is also quite restrictive. Finally this last point is made evident with a classification result in dimension three and a partial classification in dimension four.

研究の動機と目的

• Kähler計量に関して $Ric^\perp > 0$ をもつコンパクトKähler多様体の族 $\mathcal{M}_n^\perp$ を理解すること。
• 特に $b_2 = 1$ であるKähler C-空間および射影化されたベクトルバンドル上での、このような多様体の新しい例を構成すること。
• $Ric^\perp > 0$ が引き起こす幾何学的および位相的制約を確立し、この条件が豊富であると同時に制限的であることを示すこと。
• 複素次元3および4における、$Ric^\perp > 0$ をもつコンパクトKähler多様体の分類をすること。
• $Ric^\perp > 0$ と $h^{p,0}$, $\pi_1$, ピカール数などの代数幾何的不変量との関係を調査すること。

提案手法

• Itoh よりの曲率計算および Chau-Tam の結果を用い、$b_2 = 1$ であるKähler C-空間上のKähler-Einstein計量が $Ric^\perp > 0$ を満たすことを示す。
• 底空間の計量の引き戻しとトートロジカルラインバンドルの1番目のチャーン形式の組み合わせにより、$\mathbb{P}(E^*)$ 上にKähler計量を構成する。
• Bochnerの公式および代数的曲率作用素の分解を用い、$Ric^\perp$ を $R_{Ric} - R$ の全ホロモルフィック断面曲率に関連付ける。
• Mori錐内の極小極小線の構造とFano 4次元多様体の分類を用いて、ファイブレーションおよびファイバーの型を分析する。
• 次元 $n \geq 3$ では $Ric^\perp \equiv 0$ ならば平坦性が成り立ち、$n=2$ では局所的に共形平坦性が成り立つことを利用し、特定の位相を除外する。
• 代数幾何学の結果（例えば、$\mathbb{P}^n$ 上で一様に自明なベクトルバンドルは自明であるという定理）を用い、4次元における分類を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのKähler C-空間が $Ric^\perp > 0$ をもつKähler計量をもつか？
• RQ2 コンパクトKähler多様体上のベクトルバンドルの射影化上でも $Ric^\perp > 0$ を達成できるか？
• RQ3 $Ric^\perp > 0$ がコンパクトKähler多様体に課す代数的および位相的制約は何か？
• RQ4 複素次元3における $Ric^\perp > 0$ をもつコンパクトKähler多様体の分類は何か？
• RQ5 複素次元4のコンパクトKähler4次元多様体で $\rho(M) = 1$ であるものについて、$Ric^\perp > 0$ をもつ場合の可能な構造は何か？

主な発見

• $b_2 = 1$ かつ $n \geq 2$ であるKähler C-空間は、[15]における曲率計算により、$Ric^\perp > 0$ をもつKähler-Einstein計量をもつことが示された。
• $\mathbb{P}^1$ 因子を含まないコンパクトなヘルミート対称空間は $Ric^\perp > 0$ を満たし、例外的ケースへの結果の拡張がなされた。
• 非負のリッチ曲率をもつ $\mathcal{M}_n^\perp$ 内の2つの多様体の積は $\mathcal{M}_{n+m}^\perp$ に属する。これは積に関しての閉包性を示している。
• 3次元では、任意の $Ric^\perp > 0$ をもつコンパクトKähler多様体は有理的連結的であり、$\pi_1$ は有限であり、$p = 1,2$ に対して $h^{p,0} = 0$ である。
• 4次元では、$Ric^\perp > 0$ かつ $\rho(M) = 1$ をもつコンパクトKähler多様体は $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ であるか、またはデル・ペッツォのファイバーをもつファイブレーションをもつ。
• $Ric^\perp \equiv 0$ である多様体は、$n \geq 3$ では平坦であり、$n = 2$ では局所的に共形平坦（曲率が逆符号の2曲線の積）である。