[論文レビュー] Many edge-disjoint rainbow spanning trees in general graphs

Paul Horn, Lauren M. Nelsen|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Graph theory and applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、辺彩色グラフにおける辺に沿ったレインボースパンニングツリーの数に対するスペクトル的下界を確立し、各色が高々 $\delta \lambda_1/2$ 回現れ、最小次数 $\delta \geq C\log n$ であるならば、少なくとも $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ 個のこのようなツリーが存在することを示している。この結果は、正規化ラプラシアン固有値 $\lambda_1$ を用いて色の分布と連結性を制御することで、完全グラフに対する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

A rainbow spanning tree in an edge-colored graph is a spanning tree in which each edge is a different color. Carraher, Hartke, and Horn showed that for $n$ and $C$ large enough, if $G$ is an edge-colored copy of $K_n$ in which each color class has size at most $n/2$, then $G$ has at least $\lfloor n/(C\log n) floor$ edge-disjoint rainbow spanning trees. Here we strengthen this result by showing that if $G$ is any edge-colored graph with $n$ vertices in which each color appears on at most $δ\cdotλ_1/2$ edges, where $δ\geq C\log n$ for $n$ and $C$ sufficiently large and $λ_1$ is the second-smallest eigenvalue of the normalized Laplacian matrix of $G$, then $G$ contains at least $\left\lfloor\frac{δ\cdotλ_1}{C\log n} ight floor$ edge-disjoint rainbow spanning trees.

研究の動機と目的

• 完全グラフに限らない一般の辺彩色グラフへ、既存の辺に沿ったレインボースパンニングツリーの境界を一般化すること。
• 特に正規化ラプラシアンの2番目に小さい固有値 $\lambda_1$ を用いたスペクトルグラフ理論により、辺に沿ったレインボースパンニングツリーの数の下界を確立すること。
• 色の分布やグラフの正則性に関する仮定を緩和し、不規則なグラフや正しくない彩色を許容すること。
• 確率的グラフや度数分布が偏ったグラフに適用可能なフレームワークを提供すること。
• 従来の結果を改善するため、組合せ的境界に依存するのではなく、固有値に基づく等周問題的制御を組み込むこと。

提案手法

• Cheegerの不等式を用いて、正規化ラプラシアンの固有値 $\lambda_1$ を等周定数に関連づけ、それが辺の拡張性を制御することを示す。
• スペクトル技法を用いて、色クラスのサイズが $\delta \lambda_1 / 2$ に対して相対的にどの程度であるかを分析することで、辺に沿ったレインボースパンニングツリーの数を評価する。
• 大きな $\lambda_1$ が強い拡張性を意味することに依存し、それによって多数の辺に沿ったツリーの存在が保証されることを証明に用いる。
• 期待度数と固有値が制御可能なランダムグラフモデル $G_{n,p}$ および $G(\mathbf{w})$ にこのフレームワークを適用する。
• 確率的集中不等式を用いて、最小期待度数 $\mathbf{w}_{\min} \gg \log^2 n$ のとき、高確率で $\lambda_1 \geq 1 - \epsilon$ が成り立つことを示し、強い境界を得る。
• $\lambda_1$ と $\lambda_n$ が1から離れている必要がないため、より広いクラスのグラフに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化ラプラシアン固有値 $\lambda_1$ に対するスペクトル的条件を用いて、一般の辺彩色グラフにおける辺に沿ったレインボースパンニングツリーの数を下界で制御できるか？
• RQ2 色クラスのサイズが、特に色クラスが $\delta \lambda_1 / 2$ 未満に制限されている場合、辺に沿ったレインボースパンニングツリーの最大数にどのように影響するか？
• RQ3 スペクトル的手法を用いることで、完全グラフにおけるレインボースパンニングツリーに関する結果を、不規則でかつ正しくない辺彩色が施されたグラフへどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 下界 $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ における $\lambda_1$ 依存性は本質的か、それとも弱めることが可能か？
• RQ5 $G_{n,p}$ や $G(\mathbf{w})$ のような度数分布が偏ったランダムグラフモデルへ、この結果を拡張できるか？

主な発見

• 最小次数 $\delta \geq C\log n$ で、各色が高々 $\delta \lambda_1 / 2$ 条の辺に現れる任意の辺彩色グラフにおいて、少なくとも $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ 個の辺に沿ったレインボースパンニングツリーが存在する。
• この境界は正則グラフ・不規則グラフの両方に成立し、従来の正則性や正しくない彩色を仮定する必要のない結果を拡張する。
• $C\log n \leq d \leq C n^{2/3}$ の $d$-正則ランダムグラフにおいて、各色クラスが高々 $d(1 - \alpha/\sqrt{d})/2$ であれば、高確率で $\lfloor (d - \alpha\sqrt{d}) / (C\log n) \rfloor$ 個のこのようなツリーが存在する。
• 期待度数 $\mathbf{w}_{\min} \gg \log^2 n$ のランダムグラフ $G(\mathbf{w})$ において、各色クラスが高々 $\mathbf{w}_{\min}(1 - \epsilon)/2$ であれば、高確率で $\lfloor \mathbf{w}_{\min}(1 - \epsilon) / (C\log n) \rfloor$ 個の辺に沿ったレインボースパンニングツリーが存在する。
• $\lambda_1$ への依存性は、Cheegerの不等式によって拡張性を制御する上で自然であり、これを除くと境界が弱体化する可能性が高い。
• 色クラスのサイズが $\delta$-正則グラフで $\delta/2$ より大きいと、レインボースパンニングツリーが存在しない場合があるため、境界はタイトである。