[論文レビュー] Many Q-Particles from One: A New Approach to $*$-Hopf Algebras?

Gaetano Fiore|ArXiv.org|Nov 1, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非一様量子群の余代数構造と自然な複素共役（*-構造）の不適合性を解消するための新規アプローチを提案する。これは、1つの基本的量子系から多数のq-粒子系を構成することで実現される。q-変形された1次元並進と拡大代数を用いて、すべてのヒルベルト空間表現が基本的表現のテンソル積から得られることを示し、全運動量スピンが単一粒子系と同一のものであることを示す：\{\mu q^n\}_{n\in\mathbb{Z}}。

ABSTRACT

We propose a nonstandard approach to solving the apparent incompatibility between the coalgebra structure of some inhomogeneous quantum groups and their natural complex conjugation. In this work we sketch the general idea and develop the method in detail on a toy-model; the latter is a q-deformation of the Hopf algebra of 1-dim translations + dilatations. We show how to get all Hilbert space representations of the latter from tensor products of the fundamental ones; physically, this corresponds to constructing composite systems of many free distinct q-particles in terms of the basic one-particle ones. The spectrum of the total momentum turns out to be the same as that of a one-particle momentum, i.e. of the form $\{μq^n\}_{n\in\zn}$.

研究の動機と目的

• 非一様量子群の余代数的性質と自然な複素共役（*-構造）の間にある明らかな不適合性を解消すること。
• 物理的ユニタリティを保ちつつ代数的整合性を維持する非標準的*-ホップ代数の構築。
• 1つの基本的1粒子表現から、多数の異なるq-粒子からなる複合系を構築すること。
• このような複合系の全運動量スペクトルが、単一粒子系と同一であることを示すこと。
• 本手法を明示的に実装・検証可能な玩具モデルとして、q-変形された1次元並進と拡大を提示すること。

提案手法

• 非一様量子群の玩具モデルとして、1次元並進と拡大のホップ代数のq-変形を用いる。
• 基本的1粒子表現のテンソル積を用いて、q-変形代数のすべてのヒルベルト空間表現を構成する。
• テンソル積空間への代数作用を定義し、多数の自由なq-粒子からなる複合系をモデル化する。
• 得られる表現が余代数的性質と自然な*-演算（複素共役）と整合することを保証する。
• 複合系における全運動量演算子が、単一粒子系の運動量と同一のスペクトルを持つことを検証する：\\{\mu q^n\\}_{n\in\mathbb{Z}}。
• q-変形ホップ代数の代数的構造を用いて、テンソル積状態の変換性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様量子群に、余代数的性質を損なわずに整合的な*-構造を定義することは可能か？
• RQ2 多数の異なるq-粒子からなる複合系を、1つの基本的1粒子表現からどのように構築できるか？
• RQ3 基本的表現のテンソル積から構成されたq-粒子系の全運動量演算子のスペクトルは何か？
• RQ4 q-変形された1次元並進と拡大代数のすべてのヒルベルト空間表現が、このようなテンソル積構成によって実現可能か？
• RQ5 複合系の全運動量スペクトルは、単一粒子系のものと同じ形を保つか？

主な発見

• q-変形された1次元並進と拡大代数のすべてのヒルベルト空間表現が、基本的1粒子表現のテンソル積から構成可能である。
• 複合系における全運動量演算子のスペクトルは、単一粒子系の運動量と同一である：\{\mu q^n\}_{n\in\mathbb{Z}}。
• 本手法により、余代数的性質と自然な複素共役（*-演算）の間に生じる明らかな不適合性が効果的に解消された。
• 構成法は、基礎となるq-変形ホップ代数の代数的および余代数的性質を保ったままである。
• 複合系であるにもかかわらず、全運動量のスペクトルは離散的であり、1粒子系と同一の関数的形を保っている。
• 本手法は、非一様量子群の文脈における*-ホップ代数を定義する実用的な非標準的枠組みを提供する。