[論文レビュー] Many $T$ copies in $H$-free subgraphs of random graphs

Noga Alon, Alexandr Kostochka+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、 Erdős–Rényi のランダムグラフ $G(n,p)$ の $H$-free部分グラフにおける $K_m$ の最大個数を調査し、$K_m$ の個数を多く保つ部分グラフと $\chi(H)-1$-partite 部分グラフの間の遷移の閾値が $p$ と $m_2(H)$ の相対的な関係に強く依存することを示している。$m_2(H) > m_2(K_m)$ の場合、$p = n^{-1/m_2(H)}$ で鋭い遷移が発生する。一方、$m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合、より広い遷移ウィンドウが生じる。この結果は、$m_2$ 値を制御可能な $k$-彩色可能グラフの新規構成によって裏付けられている。

ABSTRACT

For two fixed graphs $T$ and $H$ let $ex(G(n,p),T,H)$ be the random variable counting the maximum number of copies of $T$ in an $H$-free subgraph of the random graph $G(n,p)$. We show that for the case $T=K_m$ and $\chi(H)> m$ the behavior of $ex(G(n,p),K_m,H)$ depends strongly on the relation between $p$ and $m_2(H)=\max_{H'\subset H, |V(H')|'\geq 3}\left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} ight\}$. When $m_2(H)> m_2(K_m)$ we prove that with high probability, depending on the value of $p$, either one can maintain almost all copies of $K_m$, or it is asymptotically best to take a $\chi(H)-1$ partite subgraph of $G(n,p)$. The transition between these two behaviors occurs at $p=n^{-1/m_2(H)}$. When $m_2(H) 0$ small at $p=n^{-1/m_2(H)+\delta}$ one can typically still keep most of the copies of $K_m$ in an $H$-free subgraph of $G(n,p)$. Thus, the transition between the two behaviors in this case occurs at some $p$ significantly bigger than $n^{-1/m_2(H)}$. To show that the second case is not redundant we present a construction which may be of independent interest. For each $k \geq 4$ we construct a family of $k$ chromatic graphs $G(k,\epsilon_i)$ where $m_2(G(k,\epsilon_i))$ tends to $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)} (< m_2(K_{k-1}))$ as $i$ tends to infinity. This is tight for all values of $k$

研究の動機と目的

• Erdős–Rényi のランダムグラフ $G(n,p)$ の $H$-free部分グラフにおける $K_m$ の個数の漸近的挙動を特定すること。
• 最適な $H$-free部分グラフが $K_m$ の個数を多く保つ構造から $\chi(H)-1$-partite 構造に遷移する臨界確率閾値 $p$ を同定すること。
• $m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合に非自明な遷移ウィンドウが存在するかどうかを解明すること。これは $m_2(H) > m_2(K_m)$ の場合の鋭い閾値とは異なる。
• $m_2$ 値が $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$ に近づく $k$-彩色可能グラフの族を構成し、その境界のタイトさを示し、第二のケースの冗長性がないことを検証すること。

提案手法

• 確率的および極値的グラフ理論的手法を用いて、$G(n,p)$ の $H$-free部分グラフの極値的構造を分析する。
• $m_2(H) = \max_{H' \subset H, |V(H')| \geq 3} \left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} \right\}$ を定義し、これが段階的遷移を支配する主要なパラメータであることを示す。
• $m_2(H) > m_2(K_m)$ の場合、$p = n^{-1/m_2(H)}$ で $K_m$ を保つ領域と部分グラフ領域の間の鋭い閾値が成立することを確立する。
• $m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合、遷移が $n^{-1/m_2(H)}$ よりもはるかに大きな $p$ で発生することを証明し、広い遷移ウィンドウが存在することを示す。
• $i \to \infty$ のとき $m_2(G(k,\epsilon_i)) \to \frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$ となる $k$-彩色可能グラフ $G(k,\epsilon_i)$ の族を構成し、境界のタイトさを示す。
• 確率的補題と極値的グラフ構成を用いて、$m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合でも第二のケースが冗長ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な $H$-free部分グラフが $G(n,p)$ で $K_m$ の個数を多く保つ構造から $\chi(H)-1$-partite 構造に遷移する臨界確率 $p$ は何か？
• RQ2 $m_2(H) > m_2(K_m)$ と $m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合、遷移挙動はどのように異なるか？
• RQ3 $m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合に非自明な遷移ウィンドウが存在するか。存在する場合、その $p$ はどの程度か？
• RQ4 $k$-彩色可能グラフの $m_2$ 値について、境界 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$ はタイトか？
• RQ5 極値的 $H$-free部分グラフの文脈で、$m_2(H) < m_2(K_m)$ のケースが冗長ではないことを示す構成は可能か？

主な発見

• $m_2(H) > m_2(K_m)$ の場合、$K_m$ の個数を多く保つ構造と $\chi(H)-1$-partite 部分グラフの間の遷移は $p = n^{-1/m_2(H)}$ で鋭く発生する。
• $m_2(H) < m_2(K_m)$ の場合、遷移は $n^{-1/m_2(H)}$ よりもはるかに大きな $p$ で発生し、広い遷移ウィンドウが存在することが示唆される。
• 小さな $\delta > 0$ に対して $p = n^{-1/m_2(H)+\delta}$ では、通常、$H$-free部分グラフで $K_m$ の個数を多く保つことが可能である。これは段階的遷移を確認する。
• $i \to \infty$ のとき $m_2(G(k,\epsilon_i))$ が $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$ に近づく $k$-彩色可能グラフ $G(k,\epsilon_i)$ の構成が提示され、境界のタイトさが示された。
• この構成により、$m_2$ 値が $m_2(K_{k-1})$ よりも厳密に小さいようなグラフが存在することを示し、$m_2(H) < m_2(K_m)$ のケースが冗長ではないことが確認された。
• 本稿では、$ex(G(n,p),K_m,H)$ の挙動が $p$、$m_2(H)$、$m_2(K_m)$ の相互作用によって支配され、それらの相対的な大きさに応じて異なる段階的遷移を示すことが確立された。