[論文レビュー] On random k-out sub-graphs of large graphs

Alan Frieze, Tony Johansson|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、各頂点が元の次数集合から独立にk個のランダムな隣接頂点を選択する、大きなグラフのランダムk-out部分グラフを研究する。最小次数が(1/2 + ε)n以上であるグラフに対しては、十分に大きなkについて、k-out部分グラフが高確率でk連結かつハミルトン的であることを証明する。最小次数m → ∞であるグラフに対しては、十分に大きなkについて、高確率で長さ(1−ε)mのサイクルを含むことを示す。

ABSTRACT

We consider random sub-graphs of a fixed graph G=(V,E) with large minimum degree. We fix a positive integer k and let Gk be the random sub-graph where each v∈V independently chooses k random neighbors, making kn edges in all. When the minimum degree δ(G)≥(12+ϵ)n,n=|V| then Gk is k-connected w.h.p. for k=O(1); Hamiltonian for ksufficiently large. When δ(G)≥m, then Gk has a cycle of length (1−ϵ)m for k≥kϵ. By w.h.p. we mean that the probability of non-occurrence can be bounded by a function ϕ(n) (or ϕ(m)) where limn→∞ϕ(n)=0.

研究の動機と目的

• . 大きなグラフのランダムk-out部分グラフがk連結となる条件を確立すること。
• . 特に最小次数が高いグラフに対して、そのような部分グラフがいつハミルトン的であるかを特定すること。
• . 最小次数m → ∞であるグラフのk-out部分グラフに、長さ(1−ε)mの長周期が存在することを証明すること。
• . G(n,k-out)に関する古典的結果（例：G(n,k-out)）を、構造的制約を課した任意のホストグラフへ一般化すること。
• . 密なベースグラフから導かれるスパースなランダム部分グラフにおける構造的性質について、確率的保証（w.h.p.）を提供すること。

提案手法

• . 固定されたグラフGの各頂点が、元の近傍から独立にk個のランダムな隣接頂点を選択するランダムk-outモデルを用いる。
• . 2段階のアプローチを採用する：まず、共通近傍密度を高めるために小さな頂点集合Lを選択する。
• . 濃度不等式とチェルノフ限界を用いて、V\L上の誘導部分グラフが小さな成分を含まず、高連結であることを証明する。
• . パathおよびサイクルの発見を模倣するため、段階的探索と分岐過程を用いる。
• . ハフディングの不等式を適用して、成分間の十分な共通近傍が存在しない確率を抑え込む。
• . 長いパスやサイクルが高確率で出現することを示すために、探索過程をガルトン＝ウォーソンの分岐過程としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ベースグラフGがどのような条件下で、ランダムk-out部分グラフGkが高確率でk連結となるか？
• RQ2 . Gの最小次数が(1/2 + ε)n以上であるとき、Gkがハミルトン的であるためのkの値は何か？
• RQ3 . 最小次数がm → ∞である場合、Gkが長さ(1−ε)mのサイクルを含むことができるか？
• RQ4 . 最小次数が大きなグラフにおいて、Gkが長さ(1−ε)mのパスまたはサイクルを含むためのkの閾値は何か？
• RQ5 . ベースグラフの構造は、k-out部分グラフにおける長周期の出現にどのように影響するか？

主な発見

• . 任意の固定されたk = O(1)に対して、δ(G) ≥ (1/2 + ε)n ならば、Gkは高確率でk連結である。
• . ある定数kεが存在し、k ≥ kε ならば、δ(G) ≥ (1/2 + ε)n を満たすグラフに対してGkは高確率でハミルトン的である。
• . 最小次数m → ∞であるグラフに対して、任意のε > 0 に対し、あるkεが存在し、k ≥ kε ならばGkは高確率で長さ(1−ε)mのサイクルを含む。
• . Gkがk連結でなかったり、長周期を含まなかったりする確率は、n → ∞ で0に収束する関数φ(n)によって抑えられる。
• . 長周期の存在は、新規の段階的探索プロセスと近隣選択の確率的解析を通じて確立された。
• . G(n,k-out)に関する古典的結果が、高い最小次数を持つ任意のグラフへと一般化され、ランダムスパース化下でも構造的性質のロバスト性が示された。