[論文レビュー] Mapping stacks and categorical notions of properness

Daniel Halpern-Leistner, Anatoly Preygel|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グローバル商スタックのような非固有スタックに対しても一般化された古典的固有性の概念、すなわち形式的固有性を導入する。導来準連接複体のh-descentを確立し、形式的固有性のもとで写像スタックおよび俋層のスタックの代表可能性を証明することで、著者たちは古典的固有性の枠を超えて、特に導来代数的幾何における主要な代数的性に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

One fundamental consequence of a scheme $X$ being proper is that the functor classifying maps from $X$ to any other suitably nice scheme or algebraic stack is representable by an algebraic stack. This result has been generalized by replacing $X$ with a proper algebraic stack. We show, however, that it also holds when $X$ is replaced by many examples of algebraic stacks which are not proper, including many global quotient stacks. This leads us to revisit the definition of properness for stacks. We introduce the notion of a formally proper morphism of stacks and study its properties. We develop methods for establishing formal properness in a large class of examples. Along the way, we prove strong h-descent results which hold in the setting of derived algebraic geometry but not in classical algebraic geometry. Our main applications are algebraicity results for mapping stacks and the stack of coherent sheaves on a flat and formally proper stack.

研究の動機と目的

• 固有スキームの写像スタックが代表可能であるという古典的結果を、非固有代数的スタックへ一般化すること。
• 出発が固有でない場合に写像スタックの代表可能性が失敗すること（例：$\operatorname{Map}(\mathbf{A}^1, \mathbf{A}^1)$ の非代表可能性）を扱うこと。
• 導来的および等変的設定において固有性の本質的性質を捉える新しい圏論的概念「形式的固有性」を考案すること。
• 形式的固有性が、$\mathscr{X}$ が固有でない場合でも写像スタック $\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ および $\mathscr{X}$ 上の俋層のスタックの代数的性を示すこと。
• 特に対象が古典的設定では失敗するが、導来代数的幾何において $\operatorname{APerf}$, $\operatorname{Perf}$, および準幾何的スタックに対して強いh-descent結果を確立すること。

提案手法

• スタックがココンパクトな閉部分集合に沿って完全であること、すなわち $\operatorname{APerf}(\mathscr{X}) \to \operatorname{APerf}(\widehat{\mathscr{X}})$ の同値性によって定義される完全性条件を用いて、形式的固有性を定義する。
• 導来の形式的函数の定理を用いて、スタックのコホモロジー的性質とその形式的完成との関係を関係づける。
• 特に特徴標数0において、導来代数的幾何の技法を用いて $\operatorname{APerf}$, $\operatorname{Perf}$, および準幾何的スタックのh-descentを確立する。
• 対角線の完全分解の存在を用いて、コホモロジカルにアーベル的およびコホモロジカルに射影的である射が形式的固有であることを証明する。
• タンナキアン形式主義および接空間複体の技法を用いて、写像スタックおよび俋層スタックの代数的性を分析する。
• fppf局所性および基底変換の性質を用いて、コホモロジカル次元条件（CD）が基底変換および降下に関して安定であることを検証し、降下結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像スタックの代表可能性は、固有スキームを超えて非固有代数的スタックへ拡張可能か？
• RQ2 導来代数的幾何において、古典的固有性を一般化しつつ、主要な代表可能性性質を保持する新しい圏論的固有性の概念は何か？
• RQ3 導来設定において、導来準連接複体のh-descentをどのように確立できるか。また、なぜこれは古典的設定では失敗するのか？
• RQ4 $\mathscr{X}$ が固有でない場合に、$\mathscr{X}$ 上の俠層スタックが代数的であるための条件は何か？
• RQ5 形式的固有性が、$\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ および $\mathscr{X}$ 上の俠層スタックの代数的性をどれほど示すのか？

主な発見

• 形式的固有性は、$\operatorname{APerf}(\mathscr{X}) \to \operatorname{APerf}(\widehat{\mathscr{X}})$ の同値性によって定義され、$\mathscr{Y}$ が準コンパクトかつ準分離であるとき、写像スタック $\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ が代数的であるための十分条件である。
• 底付きで平坦かつ形式的固有なスタック $\mathscr{X}$ 上の俠層スタックは代数的であり、これは古典的結果を非固有設定へ拡張する。
• コホモロジカルに射影的である射は形式的固有であり、これはグローバル商スタック $\mathbf{A}^1/\mathbf{G}_m$ を含む広いクラスの例を与える。
• 特徴標数0において、有限型の導来スタックで、アフィンな対角線と有限の安定化子を持つものは、コホモロジカル次元条件（CD）を満たす。
• 任意の $d$ に対して、コホモロジカル次元が高々 $d$ であるという性質は、底上でfppf局所的であり、降下および基底変換の安定性を保証する。
• 導来代数的幾何において、$\operatorname{APerf}$, $\operatorname{Perf}$, および準幾何的スタックに対して強いh-descentが成り立つ。これは古典的設定では成立しない結果である。