[論文レビュー] Markov dynamics on the dual object to the infinite-dimensional unitary group

Olshanski Grigori|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限次元ユニタリ群の双対空間 $\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上に、Feller マルコフ過程の族を構成する。intertwining 構成法と $\widehat{U(N)}$ 上の一貫性を持つマルコフ連鎖を用いて、連続時間マルコフ過程が存在することを確立し、その不変分布が一意に定まる zw 測度であることを示し、無限次元の関数に作用する第二階微分作用素としての無限小生成作用素が得られることを示す。

ABSTRACT

These are notes for a mini-course of 3 lectures given at the St. Petersburg School in Probability and Statistical Physics (June 2012). My aim was to explain, on the example of a particular model, how ideas from the representation theory of big groups can be applied in probabilistic problems. The material is based on the joint paper arXiv:1009.2029 by Alexei Borodin and myself; a broader range of topics is surveyed in the lecture notes by Alexei Borodin and Vadim Gorin arXiv:1212.3351.

研究の動機と目的

• 無限次元空間 $\widehat{U(\infty)}$ 上に連続時間マルコフ過程を構成すること。
• 一貫性を持つ $\widehat{U(N)}$ 上のマルコフ連鎖に基づき、intertwining 法を用いてそのような過程の存在を確立すること。
• 過程の不変分布を、極小文字の鎖の境界として現れる zw 測度として特徴づけること。
• 過程の無限小生成作用素が、無限個の変数に関する関数に作用する第二階微分作用素であることを示すこと。
• 過程が Feller 性を有し、一意な不変測度（zw 測度）をもち、かつその測度が対称化作用素でもあることを示すこと。

提案手法

• 有限次元双対空間 $\widehat{U(N)}$ 上の一貫性を持つ 4 パrameter のマルコフ連鎖族 $X^{(z,z',w,w')}_{N}$ を用いる。
• 有限次元の連鎖を無限次元空間 $\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上のマルコフ過程へ、intertwining 法を用いて持ち上げる。
• Edrei–Voiculescu の定理を用いて、境界 $\Omega_{\infty}$ が $U(\infty)$ の極小文字の集合として同定されることを示す。
• 関数の適切な核上に作用する第二階微分作用素 $D^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ として、無限次元過程の生成作用素を導出する。
• 生成作用素を、$\Gamma(F,G)$ が微分の二次形式であるような Dirichlet 形式 $\mathscr{E}(F,G) = \int_{\Omega_{\infty}} \Gamma(F,G) \, dM^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ の形で表現する。
• zw 測度 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ が過程に対して不変かつ対称化作用素であるという事実に依拠し、生成作用素が適切に定義され、非退化であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小文字の鎖 $\widehat{U(N)}$ の境界として現れる無限次元空間 $\widehat{U(\infty)}$ 上に、Feller マルコフ過程を構成できるか？
• RQ2 このような過程の不変分布の構造は何か？ また、$U(\infty)$ の表現論とどのように関係しているか？
• RQ3 無限次元過程の無限小生成作用素は、微分作用素の観点から明示的にどのように記述できるか？
• RQ4 過程は連続時間的であり、その標本路は正則性の性質を示すか？
• RQ5 過程は確定的点過程と解釈できるか？ また、zw 測度から引き継がれる確定的構造を有するか？

主な発見

• intertwining 法を用いて $\widehat{U(N)}$ 上の一貫性を持つ連鎖から導かれる、$\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上に Feller マルコフ過程族 $X^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ が存在する。
• 過程は一意な不変分布 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ をもち、これは極小文字の鎖の境界として現れる zw 測度である。
• 無限小生成作用素 $D^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ は、無限個の変数に関する関数に作用する第二階微分作用素であり、Dirichlet 形式を介して明示的に記述される。
• 不変測度 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ は不変かつ対称化作用素であり、生成作用素が非退化であり、過程が非決定的であることを保証する。
• 生成作用素が第二階であることと、不変測度が非原子的であることから、過程が決定的経路に退化しないことが確認される。
• 過程の多時刻有限次元分布が確定的であると予想されており、既知の zw 測度の確定的構造と整合的である。