[論文レビュー] Markov property of determinantal processes with extended sine, Airy, and Bessel kernels

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、無限次元の確定的過程に対して、拡張されたサイン、エアリー、ベッセルカーネルを有するマーカフプロパティを、整関数によって定義される新しい位相において、有限粒子非衝突拡散過程の極限として構成することによって確立する。主な貢献は、これら過程のマーカフ性の証明であり、これらは、ガウス・ユニタリアン・アンサンブルおよびキラル・ガウス・ユニタリアン・アンサンブルのボリューム、ソフトエッジ、ハードエッジスケーリング極限に関して可逆的である。

ABSTRACT

When the number of particles is finite, the noncolliding Brownian motion (the Dyson model) and the noncolliding squared Bessel process are determinantal diffusion processes for any deterministic initial configuration $ξ=\sum_{j \in Λ} δ_{x_j}$, in the sense that any multitime correlation function is given by a determinant associated with the correlation kernel, which is specified by an entire function $Φ$ having zeros in $\supp ξ$. Using such entire functions $Φ$, we define new topologies called the $Φ$-moderate topologies. Then we construct three infinite-dimensional determinantal processes, as the limits of sequences of determinantal diffusion processes with finite numbers of particles in the sense of finite dimensional distributions in the $Φ$-moderate topologies, so that the probability distributions are continuous with respect to initial configurations $ξ$ with $ξ(\R)=\infty$. We show that our three infinite particle systems are versions of the determinantal processes with the extended sine, Bessel, and Airy kernels, respectively, which are reversible with respect to the determinantal point processes obtained in the bulk scaling limit and the soft-edge scaling limit of the eigenvalue distributions of the Gaussian unitary ensemble, and the hard-edge scaling limit of that of the chiral Gaussian unitary ensemble studied in the random matrix theory. Then Markovianity is proved for the three infinite-dimensional determinantal processes.

研究の動機と目的

• 初期配置に連続的に依存する有限粒子非衝突拡散過程の極限として、無限次元確定的過程を構成すること。
• 初期配置の台に零点を持つ整関数 $Φ$ を用いて定義される、新しい位相、すなわち $Φ$-中程度位相を定義すること。
• 得られた無限系が、拡張されたサイン、エアリー、ベッセルカーネルを有する確定的過程のバージョンであることを証明すること。
• これら無限系に対して、確率論的マーカフ性を確立すること。これらは、確率論的マーカフ過程として、ランダム行列理論におけるボリューム、ソフトエッジ、ハードエッジスケーリング極限に関して可逆的である。

提案手法

• 有限次元分布の意味において、有限粒子確定的拡散過程の極限として、無限粒子系を構成する。
• 初期配置 $ξ$ の台に零点を持つ整関数 $Φ$ を用いて、初期データの連続性を保証する $Φ$-中程度位相を導入する。
• $Φ$ から導かれる相関カーネルを用いて、フリードホルム行列式を介して多時刻相関関数を定義する。
• クリスティオフ-ダーボウの公式とエルミート多項式の漸近的解析を用いて、ボリューム、ソフトエッジ、ハードエッジスケーリング極限における拡張カーネルを導出する。
• $Φ$-中程度位相における標本路の連続性と強いマーカフ性の検証により、マーカフ性を確立する。
• 適切なスケーリングと位相の下で、有限粒子ダイソンモデルが無限系に収束することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張されたサイン、エアリー、ベッセルカーネルを有する無限次元確定的過程は、初期配置に連続的に依存する有限粒子非衝突拡散過程の極限として構成可能か？
• RQ2 整関数 $Φ$ によって定義される $Φ$-中程度位相において、得られた無限系はマーカフ性を満たすか？
• RQ3 これらの無限系は、ランダム行列理論のスケーリング極限から得られる確定的過程と同値か？
• RQ4 特にボリューム、ソフトエッジ、ハードエッジ領域において、無限粒子極限でもマーカフ性が保たれるか？
• RQ5 新しい位相の下で、多時刻相関関数のフリードホルム行列式表現が、無限系へと保存され、拡張可能か？

主な発見

• 拡張されたサイン、エアリー、ベッセルカーネルを有する無限次元確定的過程は、$Φ$-中程度位相において、有限粒子非衝突拡散過程の極限として構成された。
• 構成された過程は、ガウス・ユニタリアン・アンサンブルのボリュームおよびソフトエッジスケーリング極限から生じる確定的点過程およびキラル・ガウス・ユニタリアン・アンサンブルのハードエッジ極限に関して可逆的である。
• 3つのすべての無限系に対して、マーカフ性が厳密に証明され、それらの時間均一なマーカフ的ダイナミクスが確立された。
• 拡張されたサインカーネルは、ダイソンモデルのボリュームスケーリング極限として得られ、エルミート多項式の漸近的挙動から導かれる相関カーネルである。
• エアリー・カーネルは、エッジで粒子密度が消えるソフトエッジスケーリング極限で得られ、エアリー関数およびその微分を用いて表現される。
• ベッセル・カーネルは、キラル・ガウス・ユニタリアン・アンサンブルのハードエッジ極限において出現し、ラゲール多項式およびベッセル関数の漸近的挙動から導かれる。