[論文レビュー] Martin kernels for Markov processes with jumps

Tomasz Juszczyszyn, Mateusz Kwaśnicki|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、跳躍を伴うLévy過程の広範なクラスに対して、不規則な領域における正の調和関数の比の境界極限の存在を確立し、各境界点におけるMartin核の一意性を証明するとともに、Martin境界を位相的境界と同定する。結果は境界Harnack不等式と振動低減技術に依拠し、一般の距離測度空間における調和関数のMartin表現定理を導く。

ABSTRACT

We prove existence of boundary limits of ratios of positive harmonic functions for a wide class of Markov processes with jumps and irregular domains, in the context of general metric measure spaces. As a corollary, we prove uniqueness of the Martin kernel at each boundary point, that is, we identify the Martin boundary with the topological boundary. We also prove a Martin representation theorem for harmonic functions. Examples covered by our results include: strictly stable Lévy processes in R^d with positive continuous density of the Lévy measure; stable-like processes in R^d and in domains; and stable-like subordinate diffusions in metric measure spaces.

研究の動機と目的

• 跳躍を伴うマコフ過程に対して、不規則な領域における正の調和関数の比の境界極限の存在を確立すること。
• 各境界点におけるMartin核の一意性を証明し、Martin境界を位相的境界と同一視すること。
• 一般の距離測度空間における調和関数のMartin表現定理を導出すること。
• 不規則な領域における跳躍過程に、境界Harnack不等式と振動低減技術を拡張すること。
• 最初の抜出し時刻とGreen関数を用いた確率的枠組みを通じて調和関数を提示すること。

提案手法

• 最近の[12]で確立された跳躍過程のための境界Harnack不等式を基盤的道具として用いる。
• [6]および[11]の振動低減論法を適用し、調和関数の比の収束を証明する。
• 準左連続性と優越収束定理を用いて、マコフ過程の抜出し時刻と極限を分析する。
• Green関数とLévy測度を用いて、Martin核との積分による調和関数の表現を構築する。
• $\overline{D_n} \subseteq D$ かつ $\bigcup D_n = D$ を満たす入れ子の領域 $D_n$ の列を用いて調和関数を近似し、単調収束定理を適用する。
• [11]の補題9を適応し、$0 \leq f \leq g$ かつ $g$ が $U$ で正則調和関数であれば、$f$ も $U$ で正則調和関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な領域における跳躍過程に対して、二つの正の調和関数の比は、各境界点で境界極限に収束するか？
• RQ2 各境界点におけるMartin核が一意的であるか。その場合、Martin境界は位相的境界と一致するか？
• RQ3 一般の距離測度空間における跳躍過程に対して、Martin表現定理を確立できるか？
• RQ4 不規則な領域および跳躍過程の文脈において、振動低減と境界Harnack不等式はどのように作用し合うか？
• RQ5 Martin核表現が調和関数に対して有限かつ適切に定義されるための条件は何か？

主な発見

• 与えられた条件下で、不規則な領域における二つの正の調和関数の比 $f/g$ の境界極限は、各境界点 $x_0$ で存在する。
• 各境界点におけるMartin核は一意的に定義され、これによりMartin境界が位相的境界と一致することが示される。
• Martin表現定理が成立する：$D$ 上の任意の正の調和関数 $f$ は、ある測度 $\mu$ を用いて $f(x) = \int_{\mathfrak{X} \setminus D} M_D(x,z) \mu(dz)$ と表現可能である。
• 右辺の積分が有限であるときかつその場合に限り、表現は $D$ 全体で有限であり、かつ有限であれば調和性が保たれる。
• 証明は境界Harnack不等式と振動低減に依拠し、準左連続性と優越収束定理を用いて収束を確立する。
• 結果は、連続的なLévy密度をもつ $\mathbf{R}^d$ 上の厳密に安定なLévy過程、安定型過程、および距離測度空間における安定型サブオルダイン化に適用可能である。