[論文レビュー] Martingale-driven approximations of singular stochastic PDEs

Konstantin Matetski|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、 càdlàg マルティングールを被積分関数とする複数の確率積分のフレームワークを導入し、モーメントの上限とクラウス展開を確立することで、ウィener積分と類似した解析が可能になる。エールハルトとヘイラーの離散化フレームワークと組み合わせることで、3次元確率的量子化方程式やKPZ方程式を含む特異なSPDEへの粒子系の収束を証明する。

ABSTRACT

We define multiple stochastic integrals with respect to càdlàg martingales and prove moment bounds and chaos expansions, which allow to work with them in a way similar to Wiener stochastic integrals. In combination with the discretization framework of Erhard and Hairer (2017), our results give a tool for proving convergence of interacting particle systems to stochastic PDEs using regularity structures. As examples, we prove convergence of martingale-driven discretizations of the $3$-dimensional stochastic quantization equation and the KPZ equation.

研究の動機と目的

• ブラウン運動に従来用いられる道具を一般化し、càdlàg マルティングールを被積分関数とする複数の確率積分の厳密な微積分を構築すること。
• これらの積分に対してモーメントの上限とクラウス展開を確立し、ウィナー積分理論と同等の解析的取り扱いの可能性を保証すること。
• 新しい積分フレームワークと正則性構造の手法を組み合わせることで、粒子系近似と特異な確率的偏微分方程式（SPDE）との間のギャップを埋めること。
• 3次元確率的量子化方程式およびKPZ方程式という2つの主要な特異なSPDEへの、マルティングール駆動の離散化による収束を示すこと。

提案手法

• càdlàg マルティングールを被積分関数とする複数の確率積分を定義し、非半マルティングール設定への伊藤型積分の一般化を行う。
• これらの積分のモーメントの上限を導出し、近似スキームにおける確率的項の均一な制御を保証する。
• 積分のクラウス展開表現を確立し、直交成分への分解を可能にすることで解析を容易にする。
• エールハルトとヘイラー（2017）の、特異なSPDEを扱うために正則性構造を用いる離散化スキームに、新しい積分フレームワークを統合する。
• 統合されたフレームワークを用いて、3次元確率的量子化方程式およびKPZ方程式の粒子系近似を構築・解析する。
• モーメントの上限とクラウス展開を活用し、確率的収束および分布収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィナー積分理論に類似した、càdlàg マルティングール駆動の複数の確率積分に対する堅牢な確率的微積分が構築可能か？
• RQ2 このような積分のモーメントの上限とクラウス展開が、特異なSPDEの文脈で効果的な解析を可能にするか？
• RQ3 提案されたフレームワークが、3次元確率的量子化方程式のような特異なSPDEへの粒子系の収束を保証できるか？
• RQ4 KPZ方程式は、このフレームワークを用いたマルティングール駆動の離散化により収束証明が可能か？
• RQ5 マルティングール積分と正則性構造の組み合わせにより、特異なSPDE近似のための統一的アプローチが得られるか？

主な発見

• 本稿では、càdlàg マルティングールを被積分関数とする複数の確率積分が明確に定義され、ブラウン運動以外の確率積分の基礎が築かれた。
• これらの積分に対してモーメントの上限が確立され、近似スキームにおける安定性と制御可能性が保証された。
• クラウス展開が導出され、直交成分への分解が可能となり、収束解析が容易になった。
• マルティングール駆動の離散化のもとで、相互作用を有する粒子系が3次元確率的量子化方程式に収束することを証明できるフレームワークが得られた。
• 同じフレームワークを用いてKPZ方程式に対しても収束が証明され、広範な適用可能性が示された。
• マルティングールに基づく確率的微積分を組み込むことで、正則性構造の適用範囲が粒子系近似へと拡張された。