[論文レビュー] Martingale representation property in progressively enlarged filtrations

Monique Jeanblanc, S. Song|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベースなフィルトレーション 𝔽 におけるマルティンググール表現性（MRP）が、𝔾 = 𝔽 ∨ 𝜏 という進行的に拡大されたフィルトレーションに拡張される条件を決定する一般的手法を開発する。𝔾-局所マルティンググールの投影を、補正されたジャンプ・マルティンググールが生成する安定空間および 𝔽-マルティンググール成分に制限することで、誠実時間、ジャコドの基準、浸漬条件といったさまざまな条件下で既知の結果を統一的かつ拡張的に扱う。本手法は、[21]の進化モデルに対しても適用可能であり、従来の手法では対応できなかったケースに対しても有効である。

ABSTRACT

Consider $\mathbb{G}$ the progressive enlargement of a filtration $\mathbb{F}$ with a random time $τ$. Assuming that, in $\mathbb{F}$, the martingale representation property holds, we examine conditions under which the martingale representation property holds also in $\mathbb{G}$. A general methodology is developed in this paper, with results covering every known (classical or recent) examples.

研究の動機と目的

• ベースなフィルトレーション 𝔽 でマルティンググール表現性（MRP）が成り立つ場合に、進行的に拡大されたフィルトレーション 𝔾 = 𝔽 ∨ 𝜏 において MRP が成り立つ条件を特定すること。
• 誠実時間、ジャコドの基準、浸漬条件といったさまざまな仮定の下で、𝔾 における MRP に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。
• 𝔾-局所マルティンググールの、𝔾-マルティンググール成分とジャンプ・マルティンググールが生成する安定空間への射影を、体系的かつ明示的に計算するための方法を開発すること。
• [21]で導入された進化モデルに本手法を適用し、従来の技術では対応できなかったこのクラスのモデルに対しても MRP が成立することを確立すること。
• デフォルト時刻 𝜏 が必ずしも予測可能または独立でない状況において、市場データから強度をキャリブレーション可能な信用リスクモデリングのための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 分析を二つの時間区間 [0,𝜏] と (𝜏,∞) に分割し、任意の確率的時刻 𝜏 に対して、𝔾-予測可能集合が [0,𝜏] 上で 𝔽-予測可能集合と一致することを利用する。
• 文献[5]のキーパラメータ式 (1) を用いて、有界な 𝔾-マルティンググール N の [0,𝜏] 上への制限を、𝔽-条件付き期待値と生存確率過程 Z_t = ℚ(t < 𝜏 | 𝔽_t) の関数として表現する。
• 𝔾-局所マルティンググールの、𝔾-マルティンググール成分と形のジャンプ・マルティンググール v1_{[𝜏,∞)} − (v1_{[𝜏,∞)})^{𝔾·p} が生成する安定空間への射影を、区間 [0,𝜏] 上での部分積分法により計算する。
• 特に確率測度の変更の文脈において、𝔽 と 𝔾-マルティンググールの整合性を保つために、(H′)-仮説と浸漬条件を用いる。
• 予測可能性、可積分性、双対予測可能投影の等価性を保証する一連の補題（A.7–A.12）を用いて、フィルトレーション 𝔾 と 𝔾^{(S,T]} 間での確率的解析ツールの移行を検証する。
• 本手法の核心的技術的革新は、単調族定理を用いて左連続過程から一般の予測可能過程への結果の拡張を達成することにあり、広範な適用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベースなフィルトレーション 𝔽 におけるマルティンググール表現性が、進行的に拡大されたフィルトレーション 𝔾 = 𝔽 ∨ 𝜏 に拡張される条件は何か？
• RQ2 一般の 𝔾-局所マルティンググールが、𝔾-マルティンググール成分とジャンプ・マルティンググールが生成する安定空間への射影を、𝔾 において体系的に計算する方法は何か？
• RQ3 提案手法は、誠実時間、ジャコドの基準、浸漬条件といった古典的仮定の下で知られている結果を統一的かつ一般化できるか？
• RQ4 本手法は、従来の技術ではカバーできない範囲に属するとされる[21]の進化モデルにも適用可能か？
• RQ5 (H′)-仮説と浸漬条件は、𝔾 における表現空間の安定性と予測可能性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、[0,𝜏] 上に制限された 𝔾-局所マルティンググールに対する一般化された射影公式を確立し、𝔽-マルティンググール成分と 𝔾 内のジャンプ・マルティンググールに対する確率積分として任意のこのようなマルティンググールを表現可能であることを示した。これは、𝔽 における MRP が成り立つという前提のみで成立する。
• 本手法により、従来の結果が統一的かつ拡張的に扱える：誠実時間仮定の下での MRP（[2] による結果を再現）、ジャコド基準（[18] による結果を再現）、浸漬条件（[27] による結果を再現）を統合する単一の枠組みが提供される。
• 𝔾 における MRP が成り立つための必要十分条件は、任意の 𝔾-局所マルティンググールが、𝔾-マルティンググール成分とジャンプ・マルティンググールが生成する安定空間への射影が適切に定義され、元の過程を回復できることである。本研究で開発された枠組みにより、この条件は保証される。
• 進化モデル [21] が 𝔾 において MRP を満たすことが示され、従来の手法では独立性や予測可能性の欠如により対応できなかった長年の未解決問題が解決された。
• 本稿では、(H′)-仮説と浸漬条件が、𝔾 における MRP の成立に十分であることを証明した。また、𝔾-予測可能集合の [0,𝜏] 上での構造が、表現の安定性の鍵を握っていることが明らかになった。
• 結果は、定理 3.1、定理 4.2、定理 5.1、および定理 7.2 に形式的に記述され、さまざまな仮定の下での 𝔾 における MRP の必要十分条件が示されている。