[論文レビュー] MARTINGALE SOLUTIONS FOR STOCHASTIC EQUATION OF REACTION DIFFUSION TYPE DRIVEN BY L ´ EVY NOISE OR POISSON RANDOM MEASURE

Erika Hausenblas|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 48被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、有界かつ連続な係数をもつSPDEに対する解を最初に構成し、その後一般のLévyノイズへの拡張を行う、独創的なアプローチを用いて、Lévyノイズまたはポアソン確率測度によって駆動される確率的反応拡散方程式に対するマルティンゲール解の存在を確立する。主な貢献は、真正のLévy過程によって駆動されるマルティンゲール解に関する長年の未解決問題を肯定的に解決した点である。

ABSTRACT

In this paper we are interested in a reaction diusion equa- tion driven by Poissonian noise respective Levy noise. For this aim we �rst show existence of a martingale solution for an SPDE of parabolic type driven by a Poisson random measure with only continuous and bounded coecients. This result is transferred to an parabo lic SPDE driven by Levy noise. In a second step, we show existence of a martin- gale solution of reaction diusion type, also driven by Poissonian noise respective Levy noise. Our results answer positively a long standing open question about existence of martingale solutions driven by genuine Levy processes.

研究の動機と目的

• 真正のLévy過程によって駆動される反応拡散型SPDEに対するマルティンゲール解の存在を示すという、長年の未解決問題に取り組むこと。
• 連続的かつ有界な係数のみを仮定した場合の、ポアソン確率測度によって駆動される放物型SPDEに対するマルティンゲール解の存在を確立すること。
• 近似または極限操作を用いて、ポアソンノイズに対する存在結果を一般のLévyノイズへの拡張すること。
• 反応拡散型方程式の文脈において、ジャンプノイズを伴うSPDEを扱うための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 係数の連続性および有界性の仮定の下で、固定点定理を用いてポアソン確率測度によって駆動される放物型SPDEに対するマルティンゲール解を構成する。
• 時間変換を施したLévy過程の表現を適用し、ポアソン確率測度とLévyノイズを結びつけることで、結果をLévy駆動SPDEへと移行可能にする。
• 事前推定および緊密性の議論を用いて、パス空間上の確率測度空間における近似列の収束を扱う。
• ヤマダ＝ワタナベ型の議論を適用し、反応拡散型SPDEに対して弱い意味でのマルティンゲール解の存在を保証する。
• Lévy過程の標準的表現をポアソン確率測度を用いて用いることで、一般のLévyケースをポアソンケースに還元する。
• 反応拡散方程式の構造を活用し、解が局所マルティンゲールであるために必要な正則性および可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的かつ有界な係数をもつポアソン確率測度によって駆動される放物型SPDEに対して、マルティンゲール解が存在するか？
• RQ2 ポアソン駆動SPDEに対する存在結果を、一般のLévyノイズ駆動SPDEへと拡張できるか？
• RQ3 ノイズが純粋にジャンプ型であっても、反応拡散型SPDEに対してマルティンゲール解を構成することが可能か？
• RQ4 ジャンプノイズが存在する状況下で、係数にどのような条件を課せば弱（マルティンゲール）解の存在が保証されるか？
• RQ5 古典的なヤマダ＝ワタナベの手法を、Lévyノイズおよび非リプシッツ係数を伴うSPDEにどのように適合させられるか？

主な発見

• 係数が連続的かつ有界である場合、ポアソン確率測度によって駆動される放物型SPDEに対してマルティンゲール解が存在する。
• Lévy過程をポアソン確率測度の観点から表現する手法を用いることで、ポアソン駆動SPDEに対する存在結果が一般のLévyノイズ駆動SPDEへと成功裏に拡張された。
• 本稿では、Lévyノイズによって駆動される反応拡散型SPDEに対するマルティンゲール解の存在が確立され、長年の未解決問題が解決された。
• 解はリプシッツ連続性の要請なしに、弱（マルティンゲール）の意味で構成された。
• 緊密性および弱収束の技法を、右連続で左極限をもつ（càdlàg）パスの空間上で用いることで、解の存在（法則の意味で）が保証された。
• 本枠組みは、有限活動および無限活動のLévy測度をカバーし、広範なジャンプ過程のクラスに適用可能である。