[論文レビュー] Maslov index formulas for Whitney n-gons

Sucharit Sarkar|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、表面の対称積におけるホイットニー $n$-角形のマスロフ指数の明示的公式を、ヘーガード図からの組み合わせ的データを用いて導出する。この手法は、そのような $n$-角形とフラット対角線の交差数を計算するのにも用いられ、ヘーガード・フローリングホモロジーおよび関連する4次元多様体理論における不変量の計算に重要な道具を提供する。

ABSTRACT

In this short article, we find an explicit formula for Maslov index of Whitney n-gons joining intersections points of n half-dimensional tori in the symmetric product of a surface. The method also yields a formula for the intersection number of such an n-gon with the fat diagonal in the symmetric product.

研究の動機と目的

• 表面の対称積における $n$ 個の半次元トーラスの交点を結ぶホイットニー $n$-角形のマスロフ指数に対する組み合わせ的公式を提供すること。
• 三角形（$n=3$）およびディスク（$n=2$）の場合に既存のマスロフ指数の公式を一般の $n$-角形に拡張すること。
• そのような $n$-角形と対称積内のフラット対角線の交差数を同時に計算すること。
• ヘーガード・フローリングホモロジーおよびオズヴァース・ツァボーの4次元多様体不変量における組み合わせ的不変量の開発を支援すること。
• ラスマッセンおよびリプシッツのマスロフ指数に関する先行研究を、一元的な枠組みでより高い $n$-角形の正則的ディスクに一般化すること。

提案手法

• 各 $\eta^i$ が $H_1(\Sigma)$ の半次元部分空間を張るような、$n$ 個の曲線集合 $\eta^i$ と基点 $w_l$ を持つヘーガード図 $(\Sigma, \eta^1, \ldots, \eta^n, w)$ を定義する。
• 対称積 $\mathrm{Sym}^k\Sigma$ 内の $n$ 個の完全に実トーラス $T_i = \prod_j \eta^i_j$ を構成し、それらの対ごとの交点 $P^{i,j} = T_i \cap T_j$ を考える。
• ホイットニー $n$-角形を、$\eta^i$ 曲線へと写像される境界成分を持つ、ヘーガード図内の $2$-チェーン $D$ として表現する。
• リプシッツ風の円筒的再定式化を用い、$n$-角形を $F$ を境界成分を $n$ 個持つ曲面から $D^2 \times \Sigma$ への正則写像 $u: F \to D^2 \times \Sigma$ としてモデル化する。
• マスロフ指数 $\mu(D)$ を、このような写像のモジュライ空間上での線形化 $\overline{\partial}$-作用素の行列式ラインバンドルのオイラー標数として定義する。
• 境界付きリーマン面における $\overline{\partial}$-作用素の指数定理を用い、$D$ と $\eta^i$ 曲線の交差数および $D$ が囲む基点 $w_l$ の数に基づいて、$\mu(D)$ の組み合わせ的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面の対称積におけるホイットニー $n$-角形のマスロフ指数に対する一般の組み合わせ的公式は何か？
• RQ2 ヘーガード図のデータから、ホイットニー $n$-角形が $\mathrm{Sym}^k\Sigma$ 内のフラット対角線と交差する数はどのように計算できるか？
• RQ3 $n=2$（ディスク）および $n=3$（三角形）の場合のマスロフ指数の公式を、任意の $n$ に一般化できるか？
• RQ4 ヘーガード図内の与えられた $2$-チェーン $D$ が、一意な正則的 $n$-角形から生じるための条件は何か？
• RQ5 マスロフ指数は、囲まれた基点の数と $D$ が $\eta^i$ 曲線と交差するパターンとどのように関係しているか？

主な発見

• ホイットニー $n$-角形のマスロフ指数 $\mu(D)$ は、領域のオイラー標数と、基点および曲線の交差からの補正項を含む公式で与えられる。
• マスロフ指数の公式は $\mu(D) = \chi(D) + 2\sum_{i=1}^n \#(D \cap \eta^i) - 2\sum_{l=1}^{k-g+1} \#(D \cap w_l)$ であり、ここで $\chi(D)$ は領域のオイラー標数を表す。
• $n$-角形と $\mathrm{Sym}^k\Sigma$ 内のフラット対角線の交差数は、領域 $D$ が囲む基点 $w_l$ の数（重複度を含む）に等しい。
• $\iota(D) = 0$ である領域 $D$ に対して、一意なリプシッツ写像 $(F,u)$ が $D$ を表すことができ、これはモジュライ空間 $\mathcal{M}(\phi)$ がちょうど一点から成ることを意味する。
• 正則的代表の一意性は、表面 $F$ 内の任意の二重点が射影 $p_1 \circ u$ の分岐点数を増加させることになり、仮定 $\iota(D) = 0$ に矛盾することを示すことによって確立される。
• この手法により、境界付きリーマン面における $\overline{\partial}$-作用素の指数定理と整合することが確認され、組み合わせ的アプローチの妥当性が裏付けられる。