[論文レビュー] Mass formulas for local Galois representations and quotient singularities I: a comparison of counting functions

Melanie Machett Wood, Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、修正された McKay 対応を通じて、局所的 Galois 表現の Bhargava の質量公式と点の Hilbert 構成の間に双対性を確立し、$ S_n $-作用のもとでの $ \mathbb{A}^2 $ において、Artin の導出数とモチビック重みの数え上げ関数が $ q \leftrightarrow q^{-1} $ の置換によって関連づけられることを示している。主な結果は、$ H_{\mathcal{O}_K} $ としての対称積 $ S^n\mathbb{A}^2 $ のクレパント解消としての Hilbert 構成 $ H_{\mathcal{O}_K} $ に対して、Conjecture 5.17 を証明し、モチビック積分を通じてエタール拡大と商特異点を結びつけている。

ABSTRACT

We study a relation between the Artin conductor and the weight coming from the motivic integration over wild Deligne-Mumford stacks. As an application, we prove some version of the McKay correspondence, which relates Bhargava's mass formula for extensions of a local field and the Hilbert scheme of points.

研究の動機と目的

• 局所的 Galois 表現の Bhargava の質量公式と点の Hilbert 構成の母関数との間の構造的類似性を明確化すること。
• 野生および穏やかな場合の Galois 表現と商特異点の数え上げ関数を結ぶモチビック McKay 対応を確立すること。
• $ \mathbb{F}_q $-点の数と、モチビック積分から導かれる重みを持つ Galois 表現の重み付き和との関係を示す予想を証明すること。
• $ S_n $-作用のもとでの $ \mathbb{A}^2 $ において、Artin 導出数関数とモチビック重み関数が $ q \leftrightarrow q^{-1} $ の下で双対的であることを示すこと。

提案手法

• 野生の Deligne-Mumford スタック上のモチビック積分を用いて、Galois 表現 $ \rho $ の Artin 導出数と重み関数 $ \mathbf{w}(\rho) $ を関連付ける。
• 点の Hilbert 構成 $ Z \subset H_{\mathcal{O}_K} $ の細分類を適用し、$ \sharp Z(\mathbb{F}_q) $ を係数 $ P(n, n-m) $ を持つ分割の和として計算する。
• Bhargava の公式と Kedlaya の解釈に依拠し、全質量 $ M(K, S_n, -\mathbf{a}) $ を $ q^{-m} $ 項を持つ分割の和として表現する。
• $ \mathbf{t}_\sigma $ を固定点の余次元とするとき、恒等式 $ \mathbf{w}_{2\sigma}(\rho) = 2\mathbf{t}_\sigma(\rho) - \mathbf{a}_\sigma(\rho) $ を用いて、$ \mathbf{a}(\rho) $ と $ \mathbf{w}(\rho) $ の間に双対性を確立する。
• Hilbert-Chow 射影 $ H_R \to X_R $ を用いて、$ H_R $ が $ X_R = S^n\mathbb{A}^2 $ のクレパント解消として実現されることを示し、これは $ \mathcal{O}_K $ 上で有効である。
• Corollary 4.9 を適用し、全質量 $ M(K, S_n, -\mathbf{w}_{2\sigma}) $ を分割の和として表現し、$ Z $ 上の点数と一致させた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的 Galois 表現の文脈において、Artin 導出数 $ \mathbf{a}(\rho) $ とモチビック重み $ \mathbf{w}(\rho) $ はどのように関係しているか？
• RQ2 モチビック積分を用いた Deligne-Mumford スタック上で、McKay 対応を野生の場合に拡張できるか？
• RQ3 なぜ $ S_n $-作用の下で、Bhargava の質量公式と Hilbert 構成の点数の間で $ q \leftrightarrow q^{-1} $ の双対性が成立するのか？
• RQ4 クレパント解消における原点の逆像上の $ \mathbb{F}_q $-点の数が、Galois 表現の重み付き和に等しくなる条件は何か？
• RQ5 予想 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) $ と $ \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{\rho} q^{\mathbf{w}(\rho)} $ の関係が、$ \Gamma = S_n $ および $ X = S^n\mathbb{A}^2 $ に対して成り立つか？

主な発見

• 予想 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) = \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{\rho \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont.}}(G_K, \Gamma)} q^{\mathbf{w}(\rho)} $ は $ \Gamma = S_n $、$ X = S^n\mathbb{A}^2 $、$ Y = H_{\mathcal{O}_K} $ に対して成立し、Theorem 5.21 を証明した。
• $ \mathbb{F}_q $-点の数 $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) $ は $ \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $ に等しく、Ellingsrud と Strømme の生成関数と一致する。
• $ M(K, S_n, -\mathbf{w}_{2\sigma}) $ の全質量は $ \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $ に等しく、$ \mathbf{a}(\rho) $ と $ \mathbf{w}(\rho) $ の間の $ q \leftrightarrow q^{-1} $ の下での双対性を確認した。
• 各 $ \rho $ に対して、$ \mathbf{w}_{2\sigma}(\rho) = 2\mathbf{t}_\sigma(\rho) - \mathbf{a}_\sigma(\rho) $ を満たし、$ \rho $ が $ n - m $ 個の部分に分解する場合、$ \mathbf{t}_\sigma(\rho) = m $ である。
• $ \sharp Z(\mathbb{F}_q) = \sum_{m=0}^{n-1} P(n, n-m) q^m $ の公式は、$ \mathcal{O}_K $ が局所体 $ K $ の整数環である限り、残留体の特徴にかかわらず成り立つ。
• 本結果は、$ S_n $-作用のもとでの $ \mathbb{A}^2 $ における野生 McKay 対応の強力な証拠を提供し、$ \mathcal{O}_K $ 上のグローバル設定への既存結果の拡張を実現した。