[論文レビュー] Toward motivic integration over wild Deligne-Mumford stacks

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特徴量で割り切れる順序の安定化子をもつ野生的Deligne-Mumfordスタックへとモチーフ的積分を一般化する。そのために、ねじれた弧と重み関数を含む、予想的な変数変換公式を提示する。主な貢献は、商特異点のストリング理論的不変量と局所体の拡張のモチーフ的数え上げとの間の予想的関係を示し、野生的状況におけるモチーフ的 McKay対応を提示することにある。

ABSTRACT

We discuss how the motivic integration will be generalized to wild Deligne-Mumford stacks, that is, stabilizers may have order divisible by the characteristic of the base or residue field. We pose several conjectures on this topic. We also present some possible applications concerning stringy invariants, resolution of singularities, and weighted counts of extensions of local fields.

研究の動機と目的

• 特徴量で割り切れる順序の群作用をもつ野生的Deligne-Mumfordスタックへのモチーフ的積分の拡張。
• 野生的商スタックの文脈におけるねじれた弧のための変数変換公式の定式化。
• 商特異点のストリング理論的不変量と局所体の拡張のモチーフ的数え上げとの関連。
• 特異点のクレパントまたは関手的解消の非存在に対する応用の探求。
• 局所体の拡張に対するSerreおよびBhargavaの質量公式のモチーフ的類似の提供。

提案手法

• Galois被覆による形式的ディスクの商スタックに関連する、Deligne-Mumfordスタックのねじれた弧を、代表可能な準同型として定義する。
• ねじれた弧空間 $ \mathcal{J}_{\infty}\mathcal{X} $ および $ \mathcal{J}_{\infty}\mathcal{Y} $ 上に標準的な重み関数 $ w_{\mathcal{X}} $ と $ w_{\mathcal{Y}} $ を導入する。
• ヤコビアンの順序 $ \mathrm{ord}\,\mathrm{Jac}_{f} $、モチーフ的測度 $ \mu_{\mathcal{X}} $、およびLefschetzモチーフ $ \mathbb{L} $ を含む、予想的な変数変換公式を提示する。
• アンツイスト技術を用いて、ねじれた弧空間を非ねじれたものに還元し、線形の場合における予想の正当化を提供する。
• $ \mathcal{Y} = [\mathbb{A}_D^d / G] $ および $ \mathcal{X} = \mathbb{A}_D^d / G $ の場合を分析し、重み関数の明示的予想的表現を導出する。
• 局所体の拡張のモチーフ的質量を、商特異点 $ \mathbb{A}_D^d / G $ のストリング理論的不変量と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化子の順序が特徴量で割り切れる野生的Deligne-Mumfordスタックへのモチーフ的積分の一般化はどのように可能か？
• RQ2 野生的状況における正しい変数変換公式の形は何か？ 重み関数とヤコビアン順序はどのように振る舞うか？
• RQ3 商特異点のストリング理論的不変量は、局所体の拡張のモチーフ的数え上げとして表現可能か？
• RQ4 ストリング理論的不変量は、クレパントまたは関手的解消の存在にどのような制約を課えるか？
• RQ5 局所体の拡張に対するモチーフ的質量公式が、関連する特異点のストリング理論的不変量と一致する条件は何か？

主な発見

• 予想的な変数変換公式は、ヤコビアン順序と重み関数を介して、野生的DMスタックのねじれた弧空間上のモチーフ的積分を関連付ける。
• 素数順序 $ p $ の巡回群 $ G $ が表現 $ V $ に作用し、$ D_V = p $ である場合、$ T=0 $ におけるストリング理論的不変量は 1 に評価され、解消に向けた可能性のある位相的障害を示唆する。
• クレパント解消の存在のための条件を導出：$ D_V = p $ は必要不可欠であり、そうでなければオイラー特性の実現が整数とならなくなる。
• クレパント解消が存在する場合、ストリング理論的不変量 $ P_{\mathrm{st}}(X) $ は $ T $ の多項式でなければならないが、$ T^{1/r} $ の多項式ではない。
• 残留体サイズ $ q $ の局所体の拡張のモチーフ的質量は、予想的に商特異点 $ \mathbb{A}^d / G $ のストリング理論的不変量に等しい。これはSerreおよびBhargavaの質量公式を一般化する。
• 解消における特異的除因子の双対複体のオイラー特性は、$ T=0 $ におけるストリング理論的不変量に等しくなる必要があり、これにより解消のための位相的障害が与えられる。