[論文レビュー] Massless Particles in QFT from Algebras without Involution

G.E. Johnson|arXiv (Cornell University)|May 19, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子場理論（QFT）におけるWightman公理の再考された形式を、質量ゼロの粒子を含むように拡張する。テスト関数列の代数を負エネルギーを含まない形に修正し、発散の収束を保証する。主な結果として、4次元以上の時空次元では、LSZ漸近状態が緩和関数でないにもかかわらず、散乱振幅が一貫して計算可能であることが示された。条件は $ d \geq 4 $ である。

ABSTRACT

The explicit realizations of quantum field theory (QFT) admitted by a revision to the Wightman axioms for the vacuum expectation values (VEV) of fields includes massless particles when there are four or more spacetime dimensions.

研究の動機と目的

• 量子場理論における再考されたWightmanフレームワークに質量ゼロの粒子を組み込む課題に取り組む。
• 質量ゼロの粒子を含めた際、特に $ E=0 $ および $ p^2=0 $ で生じる真空期待値（VEVs）の発散を克服する。
• 質量ゼロの粒子が存在する状況でも、ポincare共変性、微小局所性、スペクトル支持が保たれることを保証する。
• 質量ゼロの場に対して、連続線形関数型と散乱振幅が適切に定義可能となる条件を確立する。
• 質量ゼロの粒子実現の数学的整合性を保つために必要な最小時空次元 $ d \geq 4 $ を特定する。

提案手法

• 論文は、Borchers-Uhlmann代数 $ \mathcal{A} $ を再考し、すべての負エネルギーに対して消えるテスト関数の部分代数 $ \mathcal{B} $ を導入する。この際、$ E=0 $ ですべての導関数が消える滑らかなカットオフ関数 $ h(E) $ を用いる。
• 一般化関数は $ \delta(E \pm \omega) $ に対する積分により構成され、$ T(\mathbf{p}) \in S'({\mathbf{R}}^{d-1}) $ とし、原点付近の台を除外する。
• 質量ゼロの粒子を扱うには、$ \tilde{g}(p) $ 及びそのすべての導関数が $ E=0 $ で消えることを要求し、$ \mathbf{p}_j^2 = 0 $ における $ \omega_j $ の特異性を除去する。
• 散乱振幅は、LSZ状態 $ \tilde{\ell}(p_k) = (\omega_k + E_k)e^{i\omega_k t}\tilde{f}(\mathbf{p}_k) $ を用いて評価されるが、これらは $ \mathcal{B} $ に属さない。
• Wightman関数型の連続性は、$ d \geq 4 $ を要求することで保証され、これは勾配がゼロに近い領域で $ R^{-2} $ が局所的に可積分になるためである。
• エネルギー運動量保存則と勾配特異性は、$ \nabla \Phi = 0 $ となる点の近傍 $ V $ で分析され、$ \mathbf{e}_j^2 = -2s_j \mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{e}_j $ という制約が単位ベクトルのノルムを保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré共変性や微小局所性を破らずに、再考されたWightmanフレームワークに質量ゼロの粒子を一貫して組み込むことは可能か？
• RQ2 質量ゼロの粒子を含めた際、$ E=0 $ および $ p^2=0 $ での発散が、真空期待値の連続性にどのように影響するか？
• RQ3 質量ゼロの粒子が存在する状況で、連続線形関数型が存在するための最小時空次元 $ d $ は何か？
• RQ4 LSZ漸近状態が緩和関数でない場合でも、質量ゼロの粒子の散乱振幅は計算可能か？
• RQ5 テスト関数の代数にどのような条件を課すと、勾配がゼロに近い領域における一般化関数 $ \delta(P_{k(0)}) $ が適切に定義可能になるか？

主な発見

• 質量ゼロの粒子は、代数 $ \mathcal{A} $ 及びその部分代数 $ \mathcal{B} $ を負エネルギーを除外し、$ E=0 $ で滑らかになるように修正することで、再考されたWightmanフレームワークに一貫して組み込まれる。
• 一般化関数 $ \delta(P_{k(0)}) $ が適切に定義可能となるためには、$ d \geq 4 $ が必要であり、これは $ R^{-2} $ が $ d \geq 4 $ のときのみ局所的に可積分になるためである。
• LSZ状態は $ \mathcal{B} $ に属さないが、質量ゼロの粒子の散乱振幅は計算可能であり、有限質量の場合と一致する結果が得られる。
• 位相関数 $ \Phi $ の勾配特異性は、すべての質量がゼロまたはすべてが非ゼロのときのみ消える。すべての質量がゼロの場合、特異性はスケール不変であり、$ \mathbf{e}_j $ を用いてパラメータ化され、$ \|\mathbf{e}_j\| < \epsilon $ である。
• 質量ゼロの場合、エネルギー運動量保存則と勾配がゼロになる条件は分離可能であり、解は $ \mathbf{u}_j = s_j \mathbf{u}_1 + \mathbf{e}_j $ でパラメータ化され、$ \|\mathbf{e}_j\| $ が小さい。
• テスト関数の代数 $ \mathcal{B} $ が $ \tilde{\varphi}[f_n] = \prod_{k=1}^n h(E_k/\beta_k) \tilde{f}_n((p)_n) $ で定義され、$ h(E) = e^{-1/E} $（$ E>0 $ の場合）、$ h(E)=0 $（それ以外）の場合、質量ゼロの粒子に対して連続線形関数型が存在する。