[論文レビュー] Masur-Veech volumes, frequencies of simple closed geodesics and intersection numbers of moduli spaces of curves

Vincent Delecroix, Élise Goujard+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、デリーニュ–マウムフォードコンパクト化上のψ-クラスの交線形数を用いて、単純な極をもつメロモルフィックな二次微分形式のモジュライ空間のマスール–ビーチ体積および面積シーゲル–ヴィーチ定数の明示的な多項式公式を導出する。これは、単純閉ジオデシックの周波数と、固定されたシリンダ分解をもつ正方形タイル付き曲面の体積寄与の間の深い関係を確立し、これら周波数が genus および穴の数に依存する正規化係数を除いて一致することを証明する。

ABSTRACT

We express the Masur-Veech volume and the area Siegel-Veech constant of the moduli space of meromorphic quadratic differential with simple poles as polynomials in the intersection numbers of psi-classes supported on the boundary cycles of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves. Our formulae are derived from lattice point count involving the Kontsevich volume polynomials that also appear in Mirzakhani's recursion for the Weil-Petersson volumes of the moduli space of bordered hyperbolic Riemann surfaces. A similar formula for the Masur-Veech volume (though without explicit evaluation) was obtained earlier by Mirzakhani through completely different approach. We prove further result: up to an explicit normalization factor depending only on the genus and on the number of cusps, the density of the orbit of any simple closed multicurve computed by Mirzakhani coincides with the density of square-tiled surfaces having horizontal cylinder decomposition associated to the simple closed multicurve. We study the resulting densities in more detail in the special case when there are no cusps. In particular, we compute explicitly the asymptotic frequencies of separating and non-separating simple closed geodesics on a closed hyperbolic surface of genus g for all small genera g and we show that in large genera the separating closed geodesics are exponentially less frequent. We conclude with detailed conjectural description of combinatorial geometry of a random simple closed multicurve on a surface of large genus and of a random square-tiled surface of large genus. This description is conditional to the conjectural asymptotic formula for the Masur-Veech volume in large genera and to the conjectural uniform asymptotic formula for certain sums of intersection numbers of psi-classes in large genera.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\mathcal{Q}_{g,n}$ のマスール–ビーチ体積および面積シーゲル–ヴィーチ定数を、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の境界サイクル上でのψ-クラスの交線形数の多項式として表現すること。
• 整数測度ラミネーション空間内の単純閉マルチカーブ軌道の密度と、固定されたシリンダ分解をもつ正方形タイル付き曲面の相対的体積寄与との間の対応関係を確立すること。
• 双曲的曲面の genus $g$ における分離および非分離の単純閉ジオデシックの漸近的周波数を、特に小および大の genus において計算すること。
• 漸近的体積および交線形数の予想に条件付けられた下で、大 genus におけるランダムな単純閉マルチカーブおよびランダムな正方形タイル付き曲面の統計的幾何構造についての予想的記述を提供すること。
• 1シリンダをもつ正方形タイル付き曲面からの体積寄与の漸近的挙動およびそれらがポアソン型分布とどのように関係するかについて、数値的および解析的証拠を提示すること。

提案手法

• ミルザカニのウェイル–ペテルソン体積の再帰式にも現れるコンツェビッチ体積多項式 $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ を用いて、マスール–ビーチ体積を表現する。
• 三価のメトリックリボングラフに葉をもつ場合の格子点数え上げ技法を用い、ジエンケンシュトラール微分形式およびシリンダ分解をモデル化する。
• 安定グラフおよびリボングラフの形式的枠組みを用いて、二次微分形式の組合せ的型およびその退化の記述を行う。
• 標準的体積形式によって誘導されるシンプレクティック構造を用いて、モジュライ空間上の積分により体積およびシーゲル–ヴィーチ定数の公式を導出する。
• 多重調和和の再帰的関係および漸近展開を用いて、正規化された相関関数および体積寄与の大 genus 行動を分析する。
• 数値データ（$g \leq 9$ および $g=26$）を用いて、$k$-シリンダをもつ正方形タイル付き曲面の実験的統計と理論的予測を比較し、予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マスール–ビーチ体積 $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_{g,n}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の境界上でのψ-クラスの交線形数の多項式としてどのように表現できるか？
• RQ2 整数測度ラミネーション空間内での単純閉マルチカーブ $\gamma$ の軌道の密度と、水平シリンダ分解型 $\gamma$ をもつ正方形タイル付き曲面の体積寄与との間の正確な関係は何か？
• RQ3 $g \to \infty$ のとき、閉じた双曲的曲面の genus $g$ における分離および非分離の単純閉ジオデシックの漸近的周波数は何か？
• RQ4 大 genus における1シリンダをもつ正方形タイル付き曲面の体積寄与はどのように漸近的に振る舞い、ポアソン分布と比較するとどうなるか？
• RQ5 予想される漸近的体積および交線形数の公式に従うと仮定した場合、大 genus におけるランダムな単純閉マルチカーブおよびランダムな正方形タイル付き曲面の組合せ的・幾何的構造は何か？

主な発見

• マスール–ビーチ体積 $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_{g,n}$ および面積シーゲル–ヴィーチ定数 $c_{\text{area}}(\mathcal{Q}_{g,n})$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の境界サイクル上でのψ-クラスの交線形数の多項式として表現され、明示的な正規化係数をもつ。
• 任意の単純閉マルチカーブ $\gamma$ に対して、$\mathcal{ML}_{g,n}(\mathbb{Z})$ 内でのその軌道の密度は、水平シリンダ分解型 $\gamma$ をもつ正方形タイル付き曲面の正規化体積寄与と一致し、その係数は $g$ および $n$ のみに依存する。
• 大 genus において、分離する単純閉ジオデシックは、非分離のものより漸近的に $\sqrt{\frac{2}{3\pi g}} \cdot \frac{1}{4^g}$ 倍だけ頻度が低い。
• $g=26$ の場合、$k$-シリンダをもつ正方形タイル付き曲面の実験的周波数分布は、体積公式 $\operatorname{Vol}\Gamma_k(g)$ からの理論的予測と非常によく一致しており、ほとんどの $k$ について相対誤差が1%未満である。
• $g \leq 9$ に対する数値計算では、すべての $k$-シリンダをもつ正方形タイル付き曲面の体積寄与の合計が、$g=6$ で $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_g$ の約95.9%に達しており、大 genus における体積の完全収束を示唆する。
• genus $g=26$ における $k$-シリンダをもつ正方形タイル付き曲面の分布は、$\lambda \approx 2.487$ のポアソン分布とほとんど区別がつかず、最適なフィットには $\lambda_{\text{optimal}} \approx 2.528$ が必要である。