[論文レビュー] $\mathcal{L}$-invariants, partially de Rham families and local-global compatibility

Yiwen Ding|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体上の2次元半安定非水晶的ガロア表現に対して、部分的 de Rham ファミリーを用いて、Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量の一般化された Colmez-Greenberg-Stevens 公式を確立する。また、クaternionシムーラ曲線の完成コホロロジーにおける局所的・グローバルな整合性を証明し、臨界の場合に Fontaine-Mazur と Breuil の $".$mathcal{L}$-不変量が等しいことを示し、従来の非臨界設定を超えて結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $F_{\wp}$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$. By considering partially de Rham families, we establish a Colmez-Greenberg-Stevens formula (on Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants) for (general) $2$-dimensional semi-stable non-crystalline $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p}/F_{\wp})$-representations. As an application, we prove local-global compatibility results for completed cohomology of quaternion Shimura curves, and in particular the equality of Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants and Breuil's $\mathcal{L}$-invariants, in critical case.

研究の動機と目的

• $F_{\wp}$ 上の2次元半安定非水晶的ガロア表現、特に臨界の場合を含めた $".$mathcal{L}$-不変量の Colmez-Greenberg-Stevens 公式の拡張を図ること。
• クaternionシムーラ曲線の完成コホロロジーと $p$-進ガロア表現との間の局所的・グローバルな整合性を確立すること、特に臨界表現に対して行う。
• 臨界の場合に Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量と Breuil の $".$mathcal{L}$-不変量が等しいことを証明し、$p$-進 Langlands プログラムにおける主要な予想を解決すること。
• 部分的 de Rham ファミリーを構成し、特に $".$mathcal{L}$-不変量との関係において、三角分解可能表現の変形における挙動を分析すること。

提案手法

• 部分的 de Rham ファミリーを用いて、埋め込み集合 $\Sigma_{\wp}$ の部分集合上での de Rham 性質を制御するガロア表現をパrametrizeする。
• $B$-ペアコホロロジーと三角分解可能理論を用い、非臨界埋め込みにおける Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量を定義する。
• 微分形式を含む一般化された Colmez-Greenberg-Stevens 公式を適用する：$ d\log(\delta_1\delta_2^{-1}(p)) + \sum_{\sigma \in S_n} \mathcal{L}_\sigma d(\mathrm{wt}(\delta_1\delta_2^{-1})_\sigma) \in \Omega^1_{A/E} $、この式は特別な点で消える。
• 固有多様体と完成コホロロジーを用い、Emerton の構成 $\widehat{\Pi}(\rho)$ を通じて $p$-進自己形式とガロア表現を結びつける。
• Kedlaya のスロープフィルトレーションとグローバルな三角分解理論を用い、$p$-進ヒルベルトモジュラー形式のファミリーとその臨界的挙動を分析する。
• 固定された重みを持つ古典的点の Zariski 閉包として、固有多様体の閉れいじ的部分空間 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$ を構成し、$J$-de Rham 性を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元半安定非水晶的ガロア表現の臨界の場合における $".$mathcal{L}$-不変量の Colmez-Greenberg-Stevens 公式は、一般化可能か？
• RQ2 非臨界埋め込みにおける Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量は、クaternionシムーラ曲線の完成コホロロジーに現れるか？
• RQ3 臨界の場合に、完成コホロロジーとガロア表現との間に局所的・グローバルな整合性が成立するか？
• RQ4 臨界の場合に、Breuil の $".$mathcal{L}$-不変量と Fontaine-Mazur の $".$mathcal{L}$-不変量は等しいか？
• RQ5 部分的 de Rham ファミリーを用いて、固有多様体内の $J$-de Rham ガロア表現を構成し、特徴づけられるか？

主な発見

• 2次元三角分解可能表現について、$F_{\wp}$ 上で一般化された Colmez-Greenberg-Stevens 公式が成り立ち、臨界の場合でも微分形式が特別な点で消える。
• 非臨界埋め込みにおける Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量は、完成コホロロジー $\widehat{\Pi}(\rho)$ に実現され、非臨界設定における局所的・グローバルな整合性が確認された。
• 臨界の場合に、Fontaine-Mazur $".$mathcal{L}$-不変量と Breuil の $".$mathcal{L}$-不変量が等しいことが示され、$p$-進レベルでの局所 Langlands 対応を支持する。
• 部分的 de Rham ファミリーにより、$J \subset \Sigma_{\wp}$ 上での de Rham 性質を制御でき、固有多様体内での $J$-de Rham ファミリーの構成が可能になった。
• 固定された重み $k_\sigma$ ($\sigma \in J$) を持つ古典的点の Zariski 閉包 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$ は、$J$-de Rham ガロア表現をパラメトライズすると予想される。
• 臨界の場合が固有多様体の幾何と非自明に接続されており、$J$-de Rham 条件が $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)^\prime$ 内の古典的点の閉包を特徴づけることが示された。