[論文レビュー] $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories on $S^2 imes S^2$ and Liouville Gravity

Aditya Bawane, Giulio Bonelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$S^2 \times S^2$ 上の $\sigma=2$ 超対称ゲージ理論の分配関数を等長局所化を用いて計算し、$U(1)$等長性をもつ多様体に対する一般化されたキリングスピンォー方程式を導出する。主な結果として、分配関数の構成要素—三点関数とコンフォーマルブロック—がリーマン・グラビティのそれらと正確に一致することを示し、超対称ゲージ理論と2次元量子重力の間の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

We consider $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories on four manifolds admitting an isometry. Generalized Killing spinor equations are derived from the consistency of supersymmetry algebrae and solved in the case of four manifolds admitting a $U(1)$ isometry. This is used to explicitly compute the supersymmetric path integral on $S^2 imes S^2$ via equivariant localization. The building blocks of the resulting partition function are shown to contain the three point functions and the conformal blocks of Liouville Gravity.

研究の動機と目的

• 曲がった4次元多様体に $U(1)$ 等長性をもつ $\sigma=2$ 超対称ゲージ理論の一般化されたキリングスピンォー方程式を導出すること。
• $S^2 \times S^2$ 上での理論の正確な経路積分を等長局所化により計算すること。
• ゲージ理論の分配関数内に、特に三点関数とコンフォーマルブロックとして現れるリーマン・グラビティの構造の出現を同定すること。
• 超対称ゲージ理論と2次元量子重力の間の物理的および数学的な橋渡しを確立すること。

提案手法

• 曲がった多様体上で $\sigma=2$ スーパ algebra の閉じる性質から、等長性をもつ多様体に対する一般化されたキリングスピンォー方程式を導出する。
• $S^2 \times S^2$ 上での同調的トポロジカル・ツイストを用いて、スーパーチャージを保存する形でこれらの方程式を解く。
• 等長局所化を適用し、$U(1)$作用の固定点上での有限次元積分に経路積分を還元する。
• Nekrasov分配関数の手法を用いて、古典的作用、1ループ行列式、インスタントン寄与を計算する。
• $U(2)$ 場合が、リーマン・グラビティの三点関数とコンフォーマルブロックと一致する構成要素をもたらすことを同定する。
• Barnes二重ゼータ関数およびガンマ関数を用いて、$\epsilon_1, \u03b5_2$-変形された特殊関数の形で分配関数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたキリングスピンォー方程式は、$U(1)$ 等長性をもつ曲がった4次元多様体上での超対称性をどのように制約するか？
• RQ2 $S^2 \times S^2$ 上での $\sigma=2$ ゲージ理論の分配関数の正確な形は何か？
• RQ3 分配関数の1ループおよびインスタントン部は、リーマン・グラビティとどのように関係するか？
• RQ4 $U(2)$ ゲージ理論が $S^2 \times S^2$ 上で、リーマン・グラビティの三点関数とコンフォーマルブロックを再現できるか？
• RQ5 この超対称ゲージ理論内にリーマン・グラビティの構造が出現する物理的起源は何か？

主な発見

• $S^2 \times S^2$ 上の分配関数は、等長局所化により正確に計算され、$U(1)$作用の固定点上での和に還元される。
• $U(2)$ 場合におけるゲージ理論の1ループ行列式は、リーマン・グラビティの三点関数と一致する。
• $U(2)$ 理論におけるインスタントン寄与は、リーマン・グラビティのコンフォーマルブロックを再現する。
• 全分配関数は、Nekrasov分配関数の貼り合わせとして構成され、構造定数とブロックがリーマン理論と一致する。
• M5-brane を $S^2 \times S^2 \times \Sigma$ 上でコンパクト化した際に得られる2次元CFTの中心電荷は、異常多項式から導かれるリーマン・グラビティの中心電荷と整合的である。
• Barnes二重ゼータ関数およびガンマ関数の使用により、分配関数をすべての複素数 $\epsilon_1, \epsilon_2$ 値に解析接続でき、リーマン対応が保たれる。