[論文レビュー] $\mathcal{N}=(3,3)$ holography on ${ m AdS}_3 imes ({ m S}^3 imes { m S}^3 imes { m S}^1)/\mathbb Z_2$

Lorenz Eberhardt, Ida G. Zadeh|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上のタイプIIB超弦理論に対する$Ν=(3,3)$ホログラフィーを提案し、双対CFTが四つの自由フェルミオンと一つの自由ボソンからなる理論$\mathcal{S}_0$の対称積オルビーフォールドであると仮定する。両側でBPSスペクトルを一致させ、修正された楕円的生成関数を計算した結果、完全な一致が得られ、この双対性に対する強い証拠が得られた。

ABSTRACT

We consider string theory on AdS$_3$ $ imes$ (S$^3$ $ imes$ S$^3$ $ imes$ S$^1)/\mathbb Z_2$, a background supporting $\mathcal N=(3,3)$ spacetime supersymmetry. We propose that string theory on this background is dual to the symmetric product orbifold of $\mathcal S_0/\mathbb Z_2$ where $\mathcal S_0$ is a theory of four free fermions and one free boson. We show that the BPS spectra of the two sides of the duality match precisely. Furthermore, we compute the elliptic genus of the dual CFT and that of the supergravity limit of string theory and demonstrate that they match, hence providing non-trivial support for the holographic proposal.

研究の動機と目的

• AdS$_3$/CFT$_2$対応を$Ν=(3,3)$時空超対称性をもつ背景へ拡張すること。
• 二つの$\mathrm{S}^3$因子を入れ替える$\mathbb{Z}_2$作用と$\mathrm{S}^1$を反転させる作用によって$\mathcal{N}=(4,4)$から$\mathcal{N}=(3,3)$に低下する、$\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上の超弦理論を調査すること。
• $\mathcal{S}_0$が四つの自由フェルミオンと一つの自由ボソンからなる理論であるとき、双対CFTを$\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2$の対称積オルビーフォールドとして提案すること。
• ブロックの超弦理論と境界CFTの間でBPSスペクトルと修正されたスレーブスケルインデックス（楕円的生成関数）を一致させることで、双対性に対する非自明な証拠を提供すること。
• $\mathcal{N}=(3,3)$ CFTのNSセクターにおいて、フェルミオン的ゼロモードのため通常は自明になるが、物理的に意味のある非ゼロインデックスを定義・計算すること。

提案手法

• 超弦理論と$\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ と、$\mathcal{S}_0$が四つのフェルミオンと一つのボソンからなる自由CFTであるとき、$\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$ の間の双対性を提案する。
• 両側でBPSスペクトルを計算し（ブロック側ではWZWモデルとオルビー・プロジェクション、境界側では対称オルビー・コンストラクションを用いて）、正確な一致が得られた。
• $\mathcal{N}=(3,3)$ CFTに対して、右移動セクターのチャーラルプライマリーと左移動セクターの任意の状態に対するトレースとして定義される修正された楕円的生成関数を導入し、フェルミオン的ゼロモードによる標準生成関数の消滅を回避した。
• ワールドシート理論は、二つの$\mathrm{S}^3$因子に対して$\mathfrak{su}(2)_k$ WZWモデル、$\mathrm{S}^1$に対して自由ボソンを用い、$\mathbb{Z}_2$作用により$k^+ = k^-$となり、$\kappa = 0$が得られた。
• ブロックの楕円的生成関数の超重力極限を計算し、CFTの結果を再現した。これにより、双対性に対する強い支持が得られた。
• スレーブスケルインデックスの評価には、$\vartheta_2$, $\vartheta_3$, $\vartheta_4$関数と、$\tau \to \tau/n$ における変換性を用いたテータ関数の恒等式が用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超弦理論が$\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上に$\mathcal{N}=(3,3)$ホログラフィック双対を有するか？
• RQ2 $\mathcal{S}_0$が四つの自由フェルミオンと一つの自由ボソンからなる理論であるとき、$\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2$の対称積オルビー・フォールドが、この背景に対する正しい双対CFTであるか？
• RQ3 標準的楕円的生成関数がゼロになるにもかかわらず、BPSスペクトルを捉える非ゼロのスレーブスケルインデックスを$\mathcal{N}=(3,3)$ CFTに対して定義できるか？
• RQ4 ブロックの超弦理論と境界CFTのBPSスペクトルが正確に一致するか？
• RQ5 双対性の両側で計算された修正された楕円的生成関数が一致するか？ これにより、双対性に対する非自明な証拠が得られるか？

主な発見

• 超弦理論のワールドシート理論が$\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 上で、提案された双対CFT$\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$ のBPSスペクトルが正確に一致した。
• 右移動セクターのチャーラルプライマリーと左移動セクターの任意の状態に対するトレースとして定義された修正された楕円的生成関数は、非ゼロであり、ブロックと境界理論の間で一致した。
• ブロックの楕円的生成関数の超重力極限は、CFTの結果を再現し、低エネルギー領域での整合性を確認した。
• インデックスの計算には、特に$\vartheta_2(z|\tau)$と$\tau \to \tau/n$ における変換性を用いたテータ関数の恒等式が用いられ、ねじれセクターの和を評価した。
• フェルミオン的ゼロモードのため標準的楕円的生成関数が消えるのを回避するため、右移動セクターにチャーラルプライマリーに制限することで、物理的に意味のあるかつ一致するインデックスが得られた。
• 二つの$\mathrm{S}^3$因子を入れ替える$\mathbb{Z}_2$オルビー・プロジェクションと$\mathrm{S}^1$の反転作用により、$\mathcal{N}=(4,4)$から$\mathcal{N}=(3,3)$に低下し、対角$\mathfrak{su}(2)$ R対称性が保存された。