[論文レビュー] $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions constructed from finite pre-quasifield spreads

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限幾何学からの有限前準体スプレッドを用いて、$π\mathcal{S}$ ベント関数の新たな部分クラスを明示的に構成するための新規手法を提案する。デムポルフ＝ミュラー、クライン、カンターの前準体から導かれるパラメトリック置換多項式の合成逆関数を計算することで、$π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$ の3つの新たな明示的表現可能な部分クラスを構成した。これは30年以上にわたり、$π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ クラス以外に明示的構成が得られなかった$π\mathcal{S}$ ベント関数の分野において、初めての成果である。

ABSTRACT

Bent functions are of great importance in both mathematics and information science. The $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class of bent functions was introduced by Dillon in 1974, but functions belonging to this class that can be explicitly represented are only the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions, which were also constructed by Dillon after his introduction of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class. In this paper, a technique of using finite pre-quasifield spread from finite geometry to construct $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions is proposed. The constructed functions are in similar styles with the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions. To explicitly represent them in bivariate forms, the main task is to compute compositional inverses of certain parametric permutation polynomials over finite fields of characteristic 2. Concentrated on the Dempwolff-Müller pre-quasifield, the Knuth pre-semifield and the Kantor pre-semifield, three new subclasses of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class are obtained. They are the only sub-classes that can be explicitly constructed more than 30 years after the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ subclass was introduced.

研究の動機と目的

• 30年以上にわたり、$π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ の部分クラス以外に明示的表現が得られていない、$π\mathcal{S}$ ベント関数の明示的表現という長年の未解決問題に取り組むこと。
• 有限幾何学の有限前準体スプレッドを用いて、$π\mathcal{S}$ ベント関数を構成する一般的な技術を開発すること。
• 特性2の有限体上でのパラメトリック置換多項式の合成逆関数を計算し、明示的な2変数表現を可能にすること。
• 明示的な多項式形を有する$π\mathcal{S}$ クラスの新たな部分クラスを同定および特徴付けること。
• 30年間の進展の停滞に続く、明示的に構築可能な$π\mathcal{S}$ ベント関数の既知のクラスを拡張すること。

提案手法

• 部分スプレッドの構成に用いるため、有限前準体スプレッドを代数的構造として活用する。
• 前準体の乗法演算に基づくパラメトリック置換多項式を定義し、構成の中心的要素とする。
• $ζ_{2^{m}}$ 上でこれらのパラメトリック置換多項式の合成逆関数を計算し、得られるベント関数の明示的2変数表現を可能にする。
• デムポルフ＝ミュラー、クライン前半体、カンター前半体の3つの既知の前準体を用い、合成逆関数の計算が容易であるようにする。
• 特性2における線形化多項式 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$ の合成逆関数について、$\text{tr}(a)$ の値に応じて明示的な公式を導出する。
• 逆多項式を用いて$π\mathcal{S}$ 構成原理に基づきベント関数を定義し、新たな明示的表現可能な部分クラスを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 30年以上にわたり、$π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ クラス以外に明示的表現が得られていない状況において、$π\mathcal{S}$ ベント関数を$π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ クラスを超えてどのように明示的に表現できるか。
• RQ2 有限前準体スプレッドを体系的に用いて、明示的な2変数多項式形を有する新たな$π\mathcal{S}$ ベント関数の部分クラスを構成できるか。
• RQ3 デムポルフ＝ミュラー、クライン、カンターの特定の前準体から導かれるパラメトリック置換多項式の合成逆関数は何か。
• RQ4 本手法を用いて、これまで未知であった新たな$π\mathcal{S}$ クラスの部分クラスが、特性2の有限体上で明示的に記述可能か。
• RQ5 提案手法は他の前準体へ一般化可能か、また奇数特性の体へ拡張可能か。

主な発見

• デムポルフ＝ミュラー前準体、クライン前半体、カンター前半体をそれぞれ用いて、$π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$ の3つの新たな$π\mathcal{S}$ クラスの部分クラスを明示的に構成した。
• パラメトリック置換多項式 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$ の合成逆関数を、$\text{tr}(a) = 0$ および $\text{tr}(a) = 1$ の両ケースについて明示的に計算し、ベクトル関数の2変数形による構成を可能にした。
• $\text{tr}(a) = 0$ の場合、逆多項式 $L_a^{-1}(z)$ は $\left(\frac{z}{a}\right)^{1/2} + \frac{\text{tr}(az)}{a^{1/2}}$ として導出され、$x^{2^m} + x$ を法として有効である。$\text{tr}(a) = 1$ の場合、より複雑な累乗和およびトレース項を含む表現が得られ、同様に法の下で有効である。
• ベクトル関数 $F(x,y) = x \diamond y$ は逆演算を用いて明示的に定義され、$\diamond$ は $L_x^{-1}(y)$ として定義され、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上の2変数表現が得られた。
• 本手法は一般性を有し、一般化カンターまたはアルバートの前準体などの他の前準体へも応用可能であり、さらなる新たな部分クラスの生成が可能である。
• 本研究の結果は、$π\mathcal{S}$ ベント関数の明示的構成における30年間の空白を解消し、このクラスにおける明示的表現可能なベクトル関数の既知の集合を著しく拡張した。