[論文レビュー] $\mathcal{S}$-categories, $\mathcal{S}$-groupoids, Segal categories and quasicategories

Timothy Porter|ArXiv.org|Jan 21, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$γ$-カテゴリ、$γ$-グループイド、セガールカテゴリ、およびクーヴァシケーターについて包括的な概説を提供し、古典的抽象ホモトピー理論と現代の単体的メソッドを統合する。Dwyer-Kan局所化、ホモトピー型のための同調的ナーヴ、Tamsamaniの弱$ n $-カテゴリとの関係を確立し、単体的豊かさと整合性条件を通じてホモトピー論における高次カテゴリカル構造を理解するための枠組みを提示する。

ABSTRACT

The notes were prepared for a series of talks that I gave in Hagen in late June and early July 2003, and, with some changes, in the University of La Laguña, the Canary Islands, in September, 2003. They aim (i) to revisit some oldish material on abstract homotopy and simplicial ly enriched categories, that seems to be being used in today's resurgence of interest in the area and to try to view it in a new light, or perhaps from new directions; (ii) to introduce Segal categories and various other tools used by the Nice-Toulouse group of abstract homotopy theorists and link them into some of the older ideas; (iii) to introduce Joyal's quasicategories, and show how that theory links in with some old ideas of Boardman and Vogt, Dwyer and Kan, and Cordier and Porter; and finally to ask lots of questions of myself and of the reader.

研究の動機と目的

• 古典的抽象ホモトピー理論を、特に$γ$-カテゴリとクーヴァシケーターを含む現代の単体的および豊かくカテゴリカルな道具を用いて再構築すること。
• Dwyer-Kan局所化、セガールカテゴリ、Joyalのクーヴァシケーターといった重要なホモトピー論的構造の間の関係を統一的かつ明確化すること。
• ホモトピー型のための同調的ナーヴと、単体的群などの高次整合性データが、高次元代数的構造をどのようにモデル化するかを調査すること。
• Tamsamaniの弱$ n $-カテゴリが、高次ストラックとホモトピー型の基礎としての可能性を検討すること、特にGrothendieckプログラムの文脈において。
• 特にモデルカテゴリーや幾何的直観との関係において、高次カテゴリカルモデルの整合性と比較に関する未解決問題や概念的ギャップを特定すること。

提案手法

• ホモトピー集合が単体的集合であり、整合性公理を満たす$γ$-カテゴリとして、単体的豊かカテゴリを基礎的枠組みとする。
• 弱同型を備えたカテゴリから$γ$-グループイドを構成するためにDwyer-Kanハンマローカライゼーションを適用し、ホモトピー型を捉える。
• 単体的豊かナーヴ構成を用いて$γ$-カテゴリとクーヴァシケーターを関連づけ、古典的ナーヴ関手の一般化を実現する。
• 多単体的集合におけるセガール条件を用いて、$(∞,1)$-カテゴリのモデルとしてセガールカテゴリを採用する。
• 多単体的集合とそのPoincaréグループイド類似物を用いて、Tamsamaniの弱$ n $-カテゴリの構成を利用する。
• Dold-Kan対応と単体的解体を用いて、チェイン複体とクロスド複体を$γ$-カテゴリとしてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dwyer-Kan $γ$-グループイドとホモトピー型のための同調的単体の正確な関係は何か？ そして、それらは高次交換法則をどのようにエンコードするか？
• RQ2 Tamsamaniの構成は、空間でない入力（例えば単体的群やカテゴリ）へ一般化可能か？ その結果得られるPoincaré弱$ n $-グループイドはどのような情報を明らかにするか？
• RQ3 カテゴリ$\mathcal{B}$が局所的にKanであるとき、$\beta^{ℕ}$のDwyer-Kanハンマローカライゼーションは、写像空間$\mathcal{S}(S(ℕ), Ner_{h.c.}(\mathcal{B}))$にどの程度近いか？
• RQ4 一般のセガールカテゴリに対してホモトピー型のためのナーヴを定義可能か？ そして、セガールカテゴリとクーヴァシケーターの正確な関係は何か？
• RQ5 モデルカテゴリーや$∞$-カテゴリの過剰な道具を避け、セガールカテゴリの仕組みを用いて2-ストラックの幾何的に直感的な非技術的枠組みを構築することは可能か？

主な発見

• $γ$-カテゴリのホモトピー型のための同調的ナーヴはクーヴァシケーターを生成し、単体的豊かカテゴリとJoyalの$(∞,1)$-カテゴリの間の橋渡しを果たす。
• 弱同型を備えたカテゴリのDwyer-Kanハンマローカライゼーションは、整合的高次モルフィズムを伴うそのホモトピーカテゴリをモデル化する$γ$-グループイドを生成する。
• セガールカテゴリは$(∞,1)$-カテゴリのホモトピー圏においてクーヴァシケーターと同値であり、重要な比較結果を確立する。
• Tamsamaniの弱$ n $-カテゴリは、ビッグループイドの概念を一般化し、整合的合成を備えた高次グループイドの多単体的モデルとして見なせる。
• Tamsamaniの弱$ n $-カテゴリの対角線とArtin-Mazurの共対角線は、ハイパークロスド複体と関係がある可能性があり、非アーベルホモトピー論への接続を示唆する。
• 本稿は、高次ストラック理論における技術的道具（例：モデルカテゴリ）と幾何的直観の間の概念的ギャップを特定し、より単純で直感的な枠組みの導入を提唱する。