[論文レビュー] W-algebra W(2,2) and the vertex operator algebra L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)

W. Zhang, Chongying Dong|ArXiv.org|Nov 28, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、中心電荷 $c=1$ かつ重み2部分空間の次元が2である rational、$C_2$-cofinite、単純な頂点 operator algebra としての moonshine 型のものとして、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ を特徴づけ、これが一意に存在することを示している。このような代数は、同型を除いて、このテンソル積か $W(2,2)$-代数のモジュールのいずれかであることが示され、特性のモジュラー不変性を用いた証明により、制約条件を満たすのはテンソル積構造のみであることが判明し、$c=1$ の rational VOA の分類における重要なケースを解決した。

ABSTRACT

In this paper the W-algebra W(2,2) and its representation theory are studied. It is proved that a simple vertex operator algebra generated by two weight 2 vectors is either a vertex operator algebra associated to a highest irreducible W(2,2)-module or a tensor product of two irreducible Virasoro vertex operator algebras. Furthermore, any rational, C_2-cofinite simple vertex operator algebra whose weight 1 subspace is zero and weight 2 subspace is 2-dimensional, and with central charge c=1 is isomorphic to L(1/2,0)\otimes L(1/2,0).

研究の動機と目的

• 中心電荷 $c=1$ かつ $\dim V_2=2$ である rational、$C_2$-cofinite、単純な moonshine 型頂点 operator algebra の分類をすること。
• 中心電荷と低重量部分空間の次元に関する観点から、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ の構造的特徴づけをすること。
• $W(2,2)$-代数が新しい種類の頂点 operator algebra 及びその表現論を生成する役割を明らかにすること。
• $V^{\natural}$ の部分代数、特に $L(1/2,0)^{\otimes 48}$ を通して、moonshine 顶点 operator algebra $V^{\natural}$ を理解する基盤を提供すること。

提案手法

• Virasoro 代数の拡張としての $W(2,2)$-代数を用い、最高重量モジュールによる新しい頂点 operator algebra の構成。
• Verma モジュール上の双線形形式の応用により、$W(2,2)$ の既約商 $L(c,h_1,h_2)$ を決定すること。
• 有理的 VOA における次元の成長を制御するため、階数付き特性のモジュラー不変性の利用。
• 既約モジュールの $q$-特性の分析と、Dedekind のエータ関数との比較により、多項式的成長制約を導出すること。
• 中心電荷および最高重量条件から生じるディオファントス方程式を解くために楕円曲線技術の適用。
• 背理法による証明により、$c=1$ および $\dim V_2=2$ を満たすために必要なモジュラーおよび代数的制約を満たすのは $c_i = 1/2$ のみであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心電荷 $c=1$、$V_1=0$、重み2の生成元をもつ単純な頂点 operator algebra の構造は何か？
• RQ2 $c=1$ および $V_1$ と $V_2$ の次元によって、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ が rational、$C_2$-cofinite VOA の moonshine 型の中で一意に特徴づけられるか？
• RQ3 $W(2,2)$ と Virasoro 代数の表現論は、有理的 VOA の構成においてどのように相互作用するか？
• RQ4 中心電荷 $c=1$ を持つ有理的 VOA の可能な構造を制約する際、特性のモジュラー不変性は果たす役割は何か？
• RQ5 $c=\tilde{c}=1$、$V_1=0$、$\dim V_2=2$ を満たす VOA として、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ は唯一のものか？

主な発見

• 中心電荷 $c=1$、$V_1=0$、$\dim V_2=2$ を満たす任意の rational、$C_2$-cofinite、単純な頂点 operator algebra は、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ に同型である。
• このような VOA における $V_2$ が生成する頂点 operator の部分代数は、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ に同型であり、正確に9つの非同型の既約モジュールを持つ。
• 2つの成分の中心電荷 $c_1$ と $c_2$ は、楕円曲線解析によるディオファントス方程式の解法により、両方とも $1/2$ でなければならない。
• $L(c_2,0)$ の $q$-特性の係数は多項式的成長を満たさないため、モジュラー不変性の仮定に反するが、$c_2=1/2$ の場合に限る。このため、両成分の中心電荷は $1/2$ に強制される。
• $h_1 + h_2 \in \mathbb{Z}$ の条件により、$V$ に現れる $L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$-モジュールとして現れるのは、$L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ および $L(1/2,1/2)\otimes L(1/2,1/2)$ のみである。
• すべて既知の $c=\tilde{c}=1$ かつ $\dim V_2=2$ を満たす有理的 VOA が $L(1/2,0)\otimes L(1/2,0)$ に同型であるという事実により、この予想は支持されている。これは完全な分類を示唆している。