[論文レビュー] Mathematical modeling of micropolar fluid flows through a thin porous medium

Francisco J. Suárez‐Grau|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、周期的な微細構造を有する薄い多孔質媒体（TPM）を通過するマイクロポーラー流体の流れに対して、均質化技術を用いて一般化された2次元Darcy方程式を導出する。微細構造のスケール $a_{\rho}$ と膜厚さ $\rho$ の比に応じて、3つの異なる定常状態（PTPM、HTPM、VTPM）が得られ、それぞれ異なるマクロスケールモデルが得られる。このとき、速度場とマイクロ回転場は、3次元、2次元、またはReynolds型の局所問題から導かれる流れ係数 $K^{(1)}_{\lambda}$、$K^{(2)}_{\lambda}$ を介して結合される。

ABSTRACT

We study the flow of a micropolar fluid in a thin domain with microstructure, i.e. a thin domain with thickness $\\varepsilon$ which is perforated by periodically distributed solid cylinders of size $a_\\varepsilon$. A main feature of this study is the dependence of the characteristic length of the micropolar fluid on the small parameters describing the geometry of the thin porous medium under consideration. Depending on the ratio of $a_\\varepsilon$ with respect to $\\varepsilon$, we derive three different generalized Darcy equations where the interaction between the velocity and the microrotation fields is preserved.

研究の動機と目的

• 周期的な微細構造を有する薄い多孔質媒体（TPM）におけるマイクロポーラー流体の流れをモデル化すること。
• マクロスケールの流れ挙動において、速度場とマイクロ回転場の結合を考慮すること。
• 微細構造のスケールと膜厚さの比 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$ に依存する一般化されたDarcy型方程式を導出すること。
• ニュートン流体に対する既存の均質化結果を、マイクロポーラー（非ニュートン）流体のTPMへの応用に拡張すること。
• マイクロポーラー流体の薄い構造的領域における数値シミュレーションおよび工学的応用のための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 多スケール展開法と、高さのスケーリングを伴う薄い領域に適応した修正された周期的アンフォールディング技術を用いる。
• 微細構造のスケール $\varepsilon \to 0$ および $a_\varepsilon \to 0$ の漸近的極限を扱うために、固定高さ領域におけるスケーリング済み問題を導入する。
• 局所セル問題を解く：PTPMでは3次元マイクロポーラーストークス問題、HTPMでは2次元マイクロポーラー問題、VTPMでは2次元マイクロポーラーReynolds問題。
• マクロスケールのDarcy方程式を $\text{div}(K^{(1)}_{\lambda}(f - \nabla p) + K^{(2)}_{\lambda}g) = 0$ の形で導出する。ここで $K^{(k)}_{\lambda}$ は有効な流れ係数である。
• 局所問題の解を周期セル上で積分することで流れ係数 $K^{(k)}_{\lambda}$ を計算し、VTPMの場合には明示的な式を導出する。
• 適応したアンフォールディング法を用いてコンパクト性および収束に関する結果を確立し、弱形式における極限の厳密な取り扱いを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイクロポーラー流体が薄い多孔質媒体を通過する際、速度場とマイクロ回転場の結合は、マクロスケールの流れにどのように現れるか？
• RQ2 微細構造のスケーリング比 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$ に応じて、マイクロポーラー流体の流れにおける異なる漸近的定常状態は何か？
• RQ3 微細構造に依存する有効Darcy法則は、古典的Darcy法則と比べて構造的および依存関係においてどのように異なるか？
• RQ4 各定常状態において、有効な流れ係数を支配する適切な局所セル問題（3次元、2次元、またはReynolds形式）は何か？
• RQ5 ニュートン流体に用いられる均質化フレームワークを、薄い領域における微細構造を有するマイクロポーラー流体へ拡張可能か？

主な発見

• 3つの異なる一般化されたDarcy方程式が導出され、それぞれの定常状態（PTPM：$\lambda \in (0,\infty)$、HTPM：$\lambda = 0$、VTPM：$\lambda = \infty$）に対応する。各状態では異なる局所問題が関与する。
• VTPM状態では、マイクロ回転場が圧力勾配から分離され、有効な流れ係数 $L^{(1)}_{\infty}$ が消滅し、系が単純化される。
• 流れ係数 $K^{(k)}_{\lambda}$ は、局所問題の解を周期セル上で積分することで明示的に計算可能であり、VTPM状態では2次元マイクロポーラーReynolds問題の解から $K^{(k)}_{\infty}$ が導出される。
• VTPM状態では、圧力方程式が $R_c \to 0$ の極限で古典的Hele-ShawおよびDarcy法則と整合的になり、[5,14]で得られた既知の結果が回復される。
• VTPMにおける局所問題の解は、双曲線関数およびパラメータ $N$、$R_c$、$k = \sqrt{4N^2(1-N^2)/R_c}$ を含む明示的な解析的表現を持つ。
• マクロスケールの速度場およびマイクロ回転場は、周期セル上の平均として回復され、$\widetilde{U}^\prime = -K^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + K^{(2)}_{\infty}g^\prime$ および $\widetilde{W}^\prime = -L^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + L^{(2)}_{\infty}g^\prime$ の形で表され、Darcy型の構造が確認される。