[論文レビュー] Matrix factorizations and singularity categories for stacks

Alexander Polishchuk, Arkady Vaintrob|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、線束の切断であるポテンシャル $W$ を持つ代数的スタックに対して、オルロフの行列因子化と特異性カテゴリーの同型を一般化する。スタック上の導来行列因子化カテゴリーを定義し、$W$ の零点集合の特異性カテゴリーと同型であることを確立し、相対的コンパクトな被覆を持つ場合の整合的な押し出しファンクターを構成することで、ランダウ＝ジンブルグ模型やコhomological field theories への応用を可能にする。

ABSTRACT

We study matrix factorizations of a section W of a line bundle on an algebraic stack. We relate the corresponding derived category (the category of D-branes of type B in the Landau-Ginzburg model with potential W) with the singularity category of the zero locus of W generalizing a theorem of Orlov. We use this result to construct push-forward functors for matrix factorizations with relatively proper support.

研究の動機と目的

• 代数的スタック $X$ とその線束の切断であるポテンシャル $W$ の設定において、行列因子化と特異性カテゴリーの間のオルロフの同型を拡張すること。
• 局所的に収縮可能とされる対象のなす三角的部分カテゴリーによる商として得られる、行列因子化の導来カテゴリー $\operatorname{DMF}(X,W)$ を定義し、特異性カテゴリーと整合するように保証すること。
• 相対的コンパクトな被覆を持つ行列因子化の押し出しファンクターを、特異性カテゴリー同型を用いて構成し、cohomological field theories への応用を可能にすること。
• 準行列因子化による押し出しと特異性カテゴリー形式主義による押し出しの二つの概念の整合性を確立すること。
• 以降の研究 [27] で追求されるように、ランダウ＝ジンブルグ模型におけるcohomological field theories の代数的構成の基礎を築くこと。

提案手法

• $\operatorname{DMF}(X,W)$ を、$\operatorname{HMF}(X,W)$ から局所的に収縮可能とされる行列因子化のなす三角的部分カテゴリーを除いた商として定義する。
• 非自明な線束におけるポテンシャルに対して、$\mathbb{Z}$-次数付き dgカテゴリーとしての行列因子化を導入し、$\mathbb{Z}/2$-次数付きの場合を一般化する。
• オルロフの定理の一般化を証明する：滑らかな代数的スタック $X$ と零因子でないポテンシャル $W$ に対して、$\operatorname{DMF}(X,W) \simeq D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$ が成り立つ。ここで $X_0 = Z(W)$ である。
• この同型を用いて、$f: X \to Y$ が代表的かつ $X_0$ 上でコンパクトなファイバーを持つような場合に、$\overline{\operatorname{DMF}}(X,Z;f^*W) \to \overline{\operatorname{DMF}}(Y,f(Z);W)$ という押し出しファンクター $Rf_*$ を定義する。
• 同型ファンクター $\mathfrak{C}$ と $\mathfrak{C}^\infty$ を含む可換図式を用いて、導来押し出しとナチュラル押し出しの整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線束の切断であるポテンシャル $W$ を持つ代数的スタックに対して、オルロフの行列因子化と特異性カテゴリーの同型をどのように拡張できるか？
• RQ2 $X$ が非アフィンで $W$ が $\mathcal{O}_X$ のグローバルセクションでない場合に、正しい行列因子化の導来カテゴリーは何か？ これは正しいホモロジー不変量を捉えるべきである。
• RQ3 射が有限でもコンパクトでもない場合、特に無限ランクの対象が存在する状況下で、導来カテゴリー設定における行列因子化の押し出しファンクターをどのように定義できるか？
• RQ4 特異性カテゴリー同型を用いて、準行列因子化と導来カテゴリー形式主義の両方の文脈で一貫的かつ整合的な押し出し構造を定義できるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、ファン＝ジャービス＝ルアン理論の類似として、ランダウ＝ジンブルグ模型におけるcohomological field theories の代数的アナロジーを構成できるか？

主な発見

• 滑らかな代数的スタック $X$ とポテンシャル $W$ を持つとき、行列因子化の導来カテゴリー $\operatorname{DMF}(X,W)$ は、零点集合 $X_0 = Z(W)$ の特異性カテゴリー $D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$ と同型であり、オルロフのアフィン版を一般化する。
• 同型 $\operatorname{DMF}(X,W) \simeq D_{\operatorname{Sg}}(X_0)$ は、$W$ と $f^*W$ が零因子であること、$X$ が滑らかな FCDRPスタックであることなどの技術的仮定のもとで成り立つ。
• 相対的コンパクトな被覆を持つ行列因子化に対して、特異性カテゴリー同型と零点集合上でのコンパクト性を用いて、押し出しファンクター $Rf_*$ を構成した。
• 同型ファンクター $\mathfrak{C}$ と $\mathfrak{C}^\infty$ を含む可換図式により、導来押し出しとナチュラル押し出しの整合性が示された。
• この構成は、以降の研究 [27] で意図されたように、ランダウ＝ジンブルグ模型におけるcohomological field theories の代数的アプローチの基礎を提供する。
• 平坦な射 $f$ に対して、$\operatorname{Hom}(\bar{E}, Rf_*\bar{F}) \simeq \operatorname{Hom}(f^*\bar{E}, \bar{F})$ が成り立つ。これは古典的な導来カテゴリーの随伴を一般化する。