[論文レビュー] Matrix product operators for symmetry-protected topological phases

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、射影エンタングルペア状態（PEPS）における対称性保護型トポロジカル（SPT）相を分類するための行列積作用素（MPO）形式を導入し、局所対称性が群の要素でラベル付けされたMPOを通じて、局所テンソルの仮想的対称性として符号化されることを示している。ボソン的SPT相の分類は、一つのMPO集合を別のものに連続的に変形する際のトポロジカル障害として得られ、群コhomology分類を回復するとともに、SPT相遷移の研究を可能にする。

ABSTRACT

Projected entangled pair states (PEPS) provide a natural description of the ground states of gapped, local Hamiltonians in which global characteristics of a quantum state are encoded in properties of local tensors. We show that on-site symmetries, as occurring in systems exhibiting symmetry-protected topological (SPT) quantum order, can be captured by a virtual symmetry of the tensors expressed as a set of matrix product operators labelled by the different group elements. A classification of SPT phases can hence be obtained by studying the topological obstructions to continuously deforming one set of matrix product operators into another. This leads to the classification of bosonic SPT states in terms of group cohomology, as originally derived by Chen et al. in [1106.4772]. Our formalism accommodates perturbations away from fixed point models, and hence opens up the possibility of studying phase transitions between different SPT phases. We furthermore show how the global symmetries of SPT PEPS can be promoted into a set of local gauge constraints by introducing bosonic degrees of freedom on the links of the PEPS lattice, thereby providing a natural and general mapping between PEPS in SPT phases and topologically ordered phases.

研究の動機と目的

• 射影エンタングルペア状態（PEPS）を用いたテンソルネットワークベースの、対称性保護型トポロジカル（SPT）相の分類を提供すること。
• SPT相における局所対称性が、行列積作用素（MPO）を介してPEPSテンソルの仮想的対称性として表現可能であることを示すこと。
• MPO変形におけるトポロジカル障害とボソン的SPT相の群コhomology分類との間の関係を確立すること。
• 固定点モデルを超えて、SPT相間の相転移の研究を可能にするフレームワークの拡張。
• リンク自由度を介して、グローバルなSPT対称性を局所ゲージ制約に昇格させることで、SPT相とトポロジカルに秩序された相を結びつけること。

提案手法

• 群の要素でラベル付けされた行列積作用素（MPO）を用いて、PEPSにおける局所対称性を局所テンソルの仮想的対称性として表現すること。
• SPT相の分類を、一つのMPO集合を別のものに連続的に変形する際のトポロジカル障害として定式化すること。
• 群コhomologyを用いて得られるMPO構造を分類し、ボソン的SPT相の分類をChenたちはの結果を回復すること。
• PEPS格子のリンクに追加のボソン自由度を導入し、グローバルなSPT対称性を局所ゲージ制約に昇格させること。
• このゲージ制約構成を介して、SPT-PEPSとトポロジカルに秩序された相との間の一般マッピングを構築すること。
• 固定点モデルからの摂動を適用し、SPT相間の連続的相転移の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SPT相における局所対称性は、行列積作用素（MPO）を用いて、PEPSテンソルの仮想空間に体系的にどのように符号化可能か。
• RQ2 PEPS形式におけるSPT相を分類するトポロジカル不変量は何であり、それらは群コhomologyとどのように関係するか。
• RQ3 このフレームワークは、固定点モデルを超えて、異なるSPT相間の連続的相転移を記述可能か。
• RQ4 PEPSにおけるグローバルなSPT対称性は、補助自由度を介してどのように局所ゲージ対称性に昇格可能か。
• RQ5 MPO対称性を有するPEPSの文脈において、SPT秩序とトポロジカル秩序の相の一般的な関係は何か。

主な発見

• 本稿は、一つのMPO集合を別のものに変形する際のトポロジカル障害によって、PEPSにおけるSPT相が分類され、ボソン的SPT相の群コhomology分類が得られることを確立している。
• MPO形式は、PEPSテンソルの仮想的対称性として局所対称性を効果的に捉えており、SPT秩序のテンソルネットワーク実現を提供している。
• 固定点モデルからの摂動を許容することで、SPT相間の相転移の研究が可能になる。
• 格子のリンクにボソン自由度を導入することにより、PEPSにおけるグローバルなSPT対称性を局所ゲージ制約に昇格させることができる。
• この構成により、SPT相のPEPSとトポロジカルに秩序された相との間の自然かつ一般的なマッピングが得られる。
• 結果は、Chenたちはが当初に導出していたSPT相の群コhomology分類を再現しており、PEPSフレームワーク内での形式の妥当性を検証している。