[論文レビュー] Matrix product states for Hamiltonian lattice gauge theories

Boye Buyens, Karel Van Acoleyen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2014

Quantum many-body systems参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアン格子ゲージ理論である1+1次元シュヴィンガー模型をシミュレートする際、全ヒルベルト空間上の非制約MPSと比較して、ゲージ不変な行列積状態（MPS）を用いることで、計算の効率性と正確性が著しく向上することを示している。連続極限におけるカイラル凝集体の紫外発散行動が正しく再現され、D ≈ 1000までの結合次元を用いたMPSシミュレーションにより、解析的予測と過去の数値結果とを高い精度で一致させた。

ABSTRACT

Over the last decade tensor network states (TNS) have emerged as a powerful tool for the study of quantum many body systems. The matrix product states (MPS) are one particular case of TNS and are used for the simulation of 1+1 dimensional systems. In [1] we considered the MPS formalism for the simulation of the Hamiltonian lattice gauge formulation of 1+1 dimensional one flavor quantum electrodynamics, also known as the massive Schwinger model. We deduced the ground state and lowest lying excitations. Furthermore, we performed a full quantum real-time simulation for a quench with a uniform background electric field. In this proceeding we continue our work on the Schwinger model. We demonstrate the advantage of working with gauge invariant MPS by comparing with MPS simulations on the full Hilbert space, that includes numerous non-physical gauge variant states. Furthermore, we compute the chiral condensate and recover the predicted UV-divergent behavior.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン格子ゲージ理論のシミュレーションにおいて、非制約MPSと比較してゲージ不変MPSが果たす利点を調査すること。
• 1+1次元シュヴィンガー模型におけるカイラル凝集体を計算し、連続極限におけるその紫外発散行動を検証すること。
• 数値結果を解析的予測および先行シミュレーションと比較し、特にカイラル凝集体の非摂動的紫外発散について検証すること。
• MPSフレームワークが、モンテカルロ法では到達できない時間発展および有限フェルミオン密度を有するゲージ理論のシミュレーションにおいて、信頼できるツールであることを検証すること。

提案手法

• 本研究では、1+1次元シュヴィンガー模型の格子上における量子状態を、境界条件が開放的で結合次元Dが最大1000の行列積状態（MPS）を用いて表現する。
• 物理的でゲージ不変な部分空間上にのみMPSを構築することで、初期段階からゲージ不変性を強制し、物理的でないゲージ変換状態を回避する。
• 時間的軸方向ゲージを用い、ステアッテッドフェルミオンとKogut-Susskind離散化を用いてハミルトニアンを定式化し、局所スピンおよびU(1)ゲージ自由度を有するスピン-ゲージ模型に写像する。
• 局所演算子の期待値を用いてカイラル凝集体を計算し、有限サイズスケーリングと対数フィットを用いて連続極限における振る舞いを抽出する。
• 紫外発散は、log(x)/√xおよび1/√xの項を含む関数形にデータをフィットすることで解析され、非摂動的発散が−m/(2gπ)log(x)に比例することを特定する。
• 自由場の寄与Σ_free(x)を差し引くことで、補正されたカイラル凝集体を抽出し、正確な強結合結果および先行シミュレーションと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期段階からゲージ不変性を強制することは、ハミルトニアン格子ゲージ理論におけるMPSシミュレーションの効率性と正確性を著しく向上させるか？
• RQ2 MPS形式は、シュヴィンガー模型の連続極限におけるカイラル凝集体の紫外発散行動を正しく再現できるか？
• RQ3 カイラル凝集体の非摂動的紫外発散は、解析的予測および先行数値結果とどの程度一致するか？
• RQ4 結合次元D ≈ 1000までのMPSシミュレーションは、異なるフェルミオン質量において補正されたカイラル凝集体をどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 非制約MPSシミュレーションは全ヒルベルト空間上で実行されるが、計算時間は著しく悪化する一方、ゲージ不変MPSシミュレーションははるかに効率的かつ正確である。
• カイラル凝集体は予測通りの紫外発散 ∝ −m/(2gπ)log(x) を示し、係数C₁ ≈ 0であるため、完全な非摂動的発散が自由場の寄与によって捉えられていることが確認された。
• 補正されたカイラル凝集体Σ_renは高い精度で計算された：m/g = 0のときΣ_ren = −0.1599288(1)であり、正確な強結合結果（−0.1599288）と極めて良好に一致した。
• m/g = 0.125, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 2の各値におけるΣ_renの結果は、両方の先行シミュレーション[15]および正確な期待値と誤差範囲内で一致し、MPSアプローチの妥当性が裏付けられた。
• 有限サイズスケーリングおよびフィッティング手順により、主な誤差要因はフィットによる統計的不確実性であり、結合次元による切断誤差ではないことが確認された。D ≈ 1000の結合次元は高精度な結果を得るのに十分であった。
• 本研究は、MPSシミュレーションが、特に連続極限においても、1+1次元ゲージ理論における時間発展および有限フェルミオン密度のシミュレーションに信頼できる手法であることを確認した。