[論文レビュー] Matrix Product States for Lattice Field Theories

Mari Carmen Bañuls, Krzysztof Cichy+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Quantum many-body systems参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、開境界条件と有限サイズスケーリングを用いて、格子ゲージ理論、特にシュヴィンガー模型への行列積状態（MPS）の応用を示している。チャiral凝集体の高精度で非摂動的な計算が達成され、連続極限への外挿により正確な値と極めて良好に一致し、MPSが強い相関を持つゲージ理論に適していることを確認した。

ABSTRACT

The term Tensor Network States (TNS) refers to a number of families of states that represent different ansätze for the efficient description of the state of a quantum many-body system. Matrix Product States (MPS) are one particular case of TNS, and have become the most precise tool for the numerical study of one dimensional quantum many-body systems, as the basis of the Density Matrix Renormalization Group method. Lattice Gauge Theories (LGT), in their Hamiltonian version, offer a challenging scenario for these techniques. While the dimensions and sizes of the systems amenable to TNS studies are still far from those achievable by 4-dimensional LGT tools, Tensor Networks can be readily used for problems which more standard techniques, such as Markov chain Monte Carlo simulations, cannot easily tackle. Examples of such problems are the presence of a chemical potential or out-of-equilibrium dynamics. We have explored the performance of Matrix Product States in the case of the Schwinger model, as a widely used testbench for lattice techniques. Using finite-size, open boundary MPS, we are able to determine the low energy states of the model in a fully non-perturbative manner and to accurately extract the mass spectrum. In this work we extend the analysis to the determination of the chiral condensate, both for massless and massive fermions. The method allows for accurate finite size and continuum limit extrapolations and produces remarkably precise results, thus showing the feasibility of these techniques for gauge theory problems.

研究の動機と目的

• 行列積状態（MPS）を基底状態エネルギーと質量ギャップの計算を超えて、格子ゲージ理論におけるチャイルド凝集体の計算に応用すること。
• チャイルド凝集体に生じる発散を避けるために、自由場の寄与を差し引くことで、正確な連続極限への外挿を可能にすること。
• MPS手法が、強い相関を持つ量子場理論における有限サイズおよび連続極限への外挿に十分な精度を達成できることを示すこと。
• 質量ゼロの場合に正確な結果と比較し、質量がある場合に既存の文献と照合することで、手法の妥当性を検証すること。
• メトロポリス・モンテカルロ法が失敗するような問題、例えば有限密度や非平衡ダイナミクスにおいても、テンソルネットワーク技法の実用可能性を確立すること。

提案手法

• シュヴィンガー模型をコグット＝サスキン形式およびジョルダン＝ヴァイナー変換を用いて長距離スピンハミルトニアンに写像し、スピンに基づくMPSによる取り扱いを可能にした。
• チャイルド凝集体は演算子 $\hat{\Sigma} = \frac{\sqrt{x}}{N}\sum_{n}(-1)^{n}\frac{1+\sigma_{n}^{z}}{2}$ の基底状態期待値として計算され、有限サイズ効果は線形 $1/N$ 外挿により除去された。
• 凝集体に含まれる発散する対数項は、正確な自由場の結果 $\Sigma_{\text{free}}$ を用いて差し引かれ、有限で物理的な観測量が得られた。
• 格子効果を除去するため、連続極限外挿に関数形 $f(x) = A + F\frac{\log x}{\sqrt{x}} + B\frac{1}{\sqrt{x}} + C\frac{1}{x}$ を用い、$x = 1/(g^2 a^2)$ とした。
• 結合次元 $D$ を体系的に増大させ、$1/D$ における線形フィットを用いて $D \to \infty$ への外挿を行い、切断誤差を制御した。
• 本手法は、有限サイズスケーリング、連続極限外挿、および線形フィットからの信頼区間による誤差推定を統合した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列積状態は、格子ゲージ理論のベンチマークとしてのシュヴィンガー模型におけるチャイルド凝集体を正確に計算できるか？
• RQ2 自由場の凝集体を差し引くことで、連続極限への外挿の収束性と精度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 MPS手法は、既存の非摂動的技法と同等またはそれ以上の精度でチャイルド凝集体を計算できるか？
• RQ4 減算された凝集体の連続極限への近づき方を最もよく記述する関数形は何か？また、数値データにどの程度よく適合するか？
• RQ5 MPSに基づく手法は、エネルギーと質量ギャップの計算を超えて、切断誤差に敏感な観測量（例えばチャイルド凝集体）を信頼性高く取り扱えるか？

主な発見

• 質量ゼロの場合にMPS手法により得られた連続極限外挿されたチャイルド凝集体は $0.159930(8)$ であり、正確な値 $0.159929$ と極めて良好に一致した。
• $m/g = 0.125$ の場合、計算値 $0.092023(4)$ は文献の近似値 $0.0929$ と整合的であった。
• 減算された凝集体は結合次元 $D$ において優れた収束性を示し、$D = 100$ から $D = 140$ までの $1/D$ における線形外挿により安定した結果が得られた。
• 有限サイズ効果は線形 $1/N$ フィットでよく記述され、熱力学的極限の誤差はフィットパラメータの $68\%$ 信頼区間から推定された。
• 関数形 $f(x) = A + F\frac{\log x}{\sqrt{x}} + B\frac{1}{\sqrt{x}} + C\frac{1}{x}$ を用いた連続極限外挿はデータに極めて良好に適合し、減算後には $\log a$ 発散がないことが確認された。
• 本手法により、チャイルド凝集体の正確で非摂動的な計算が可能となり、エネルギーと質量スペクトルの計算を超えて、MPSが困難な格子ゲージ理論問題に適していることが示された。