[論文レビュー] Matrosov's theorem using a family of auxiliary functions: an analysis tool to aid time-varying nonlinear control design

Andrew R. Teel, Antonio Lorı́a+2 more|ArXiv.org|Apr 18, 2003

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時間変動非線形系に対してMatrosovの定理を拡張し、原点の均一なグローバル漸近的安定性（UGAS）を確立するために、補助関数の族を導入する。Lyapunov関数の微分が消える集合上で、これらの関数の微分が同時に負定値であることを保証することにより、非自励系における安定性解析のための体系的かつ一貫した手法を提供する。この手法は、ドリフトレスで、チェーン形式の非ホロノミック系に適用され、有効性が示された。

ABSTRACT

We present a new result on uniform attractivity of the origin for nonlinear time-varying systems. Our theorem generalizes Matrosov's theorem which extends, in a certain manner, Krasovskii-LaSalle invariance principle to the case of general nonlinear time-varying systems. We show the utility of our theorem by addressing a control problem of port interconnected driftless systems. The latter includes as special case, the control of chained-form nonholonomic systems which has been extensively studied in the literature.

研究の動機と目的

• 標準の不変性原理（Krasovskii-LaSalleなど）が適用できない時間変動非線形系に対して、均一なグローバル漸近的安定性（UGAS）を証明する課題に対処すること。
• 単一の補助関数ではなく、有限個の補助関数の族を導入することで、Matrosovの定理を一般化し、安定性解析における柔軟性を向上させること。
• Lyapunov関数の微分が非自明な集合上で消える場合に、補助関数の微分が同時に負定値であることを保証する体系的フレームワークを提供し、UGASを検証すること。
• 特に、チェーン形式の非ホロノミック系を含む、安定性が難しいとされる非ホロノミック制御系クラスに、提案手法の有効性を示すこと。
• Barbălatの補題に依存せず、構造的な補助関数アプローチを用いることで、時間変動制御系に対する厳密な解析的ツールを確立すること。

提案手法

• 有限個の補助関数 $ V_1, \dots, V_j $ を用いる新しい安定性定理を提案し、それぞれがコンパクト集合上で連続的微分可能かつ有界であることを仮定する。
• 合成関数 $ W(t,x) = \sum_{i=1}^{j-1} K_i V_i(t,x) + V_j(t,x) $ を定義し、$ K_i > 0 $ は正の定数で、その微分の負の性質を保証するために選択される。
• Lyapunov微分が消える集合上で、全時間微分 $ \dot{W} \leq Z(x, \phi(t,x)) $ が成り立つ条件を確立し、$ Z $ が原点の近傍で一様に負定値であることを保証する。
• コンパクト性の議論と連続性を用いて、Lyapunov微分が消えるとき、補助関数の微分が0から一様に離れていることを保証する。
• 時間区間 $ T $ 上での $ \dot{W} $ の積分に基づく背理法を用い、状態が原点の任意の近傍から外に滞在し続ければ、$ W $ は初期値を下回るだけの減少が生じることを示し、矛盾を導く。
• 原点の均一安定性と $ W $ の負の微分の下界の存在を活用し、時間区間の議論によりUGASを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の補助関数を用いることで、Matrosovの定理を時間変動非線形系に一般化する方法は何か？
• RQ2 Lyapunov関数の微分が非自明な集合上で消える場合に、補助関数の族が均一なグローバル漸近的安定性（UGAS）を保証するための条件は何か？
• RQ3 この拡張されたフレームワークは、特にチェーン形式の非ホロノミック系を含む非ホロノミック系に適用可能か？また、Barbălatの補題に依存せずにUGASを確立できるか？
• RQ4 Lyapunov微分が消える集合上で、補助関数の微分が同時に負定値であることを保証するため、補助関数が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ5 一般に選択基準が存在しない状況において、実用的な観点から補助関数の選定はどのように行われるべきか？

主な発見

• 提案された定理により、時間変動非線形系の原点における均一なグローバル漸近的安定性（UGAS）が、有限個の補助関数の族を用いて確立された。
• この手法により、Lyapunov微分が消えるとき、合成関数 $ W $ の微分が、コンパクト集合上で一様に負定値関数 $ Z $ によって上から抑えられることが保証された。
• 任意の $ \delta > 0 $ に対して、$ \varepsilon > 0 $ および正の定数 $ K_i $ が存在し、$ \mathcal{H}(\delta, \Delta) \times \mathcal{B}(\mu) $ 上で $ Z(x, \phi(t,x)) \leq -\varepsilon / 2^{j-1} $ が成り立つ。これにより、Lyapunov型関数の指数的減衰が保証される。
• 証明では時間区間の議論を用いる：状態が原点の近傍から時間 $ T > 2^j \eta / \varepsilon $ 以上外にとどまるならば、$ W $ は初期値を下回るだけの減少が生じ、矛盾が生じる。
• このフレームワークは、ドリフトレスのポート結合系、特にチェーン形式の非ホロノミック系に成功裏に適用され、UGASが確立された。
• Barbălatの補題に依存せず、補助関数の設計と積分の上限を用いる直接的かつ構成的なアプローチにより、UGASへの到達路を提供した。