[論文レビュー] Maurer-Cartan moduli and theorems of Riemann-Hilbert type

Joseph Chuang, Julian J. Holstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、dg代数およびdg圏におけるMaurer-Cartanモジュライ空間の新しい枠組みを確立し、それらが単なる準同型写像の不変量ではなく、強いホモトピー型の不変量であることを示している。解析的および代数的設定の両方で、ゲージ同値性とホモトピー同値性のMC要素に関するSchlessinger-Stasheff型の定理を証明し、それを用いて多様体、単体的複体、位相空間のための高次リーマン＝ヒルベルト対応を再証明および一般化している。

ABSTRACT

We study Maurer-Cartan moduli spaces of dg algebras and associated dg categories and show that, while not quasi-isomorphism invariants, they are invariants of strong homotopy type, a natural notion that has not been studied before. We prove, in several different contexts, Schlessinger-Stasheff type theorems comparing the notions of homotopy and gauge equivalence for Maurer-Cartan elements as well as their categorified versions. As an application, we re-prove and generalize Block-Smith's higher Riemann-Hilbert correspondence, and develop its analogue for simplicial complexes and topological spaces.

研究の動機と目的

• dg代数とそのモジュールの分析を通じて、高次リーマン＝ヒルベルト対応をより単純な言葉で理解すること。
• Maurer-Cartanモジュライ空間が、単なる準同型写像よりも細かく、強いホモトピー型の不変量であることを示すこと。
• dg代数におけるMC要素のホモトピー同値性とゲージ同値性を比較するSchlessinger-Stasheff型の定理を確立すること。
• ブロック＝スミスの高次リーマン＝ヒルベルト対応を単体的複体および位相空間へ一般化すること。
• dg代数のホモトピー理論を$K_{\bullet}^*$-代数を用いて構築し、$K_{\bullet}$-ホモトピー圏を定義すること。

提案手法

• dg代数$A$に対して、導来圏$D(A)$よりも細かく不変量である、ねじれ$A$-モジュールの圏$\operatorname{Tw}(A)$を導入する。
• dg代数における強いホモトピー同値性を定義し、乗法的構造を保存するが、準同型写像よりも厳密に細かいものである。
• $K_{\bullet}^*$-代数、特に$\bullet = \infty, 0$のときの$K_{\bullet}^*$を用いてホモトピーをモデル化し、$K_{\bullet}$-ホモトピー類の写像を定義する。
• $K_{\infty}^*$が特定の関係と微分を持つ生成元$e,f,s,t$によって生成され、アセイックであることを証明する。
• 射の$K_{\bullet}$-ホモトピー類を射とする、dg代数の$K_{\bullet}$-ホモトピー圏を構成する。
• 理論を層化に応用し、$\Omega(M)$上のdgモジュールに対して、適切な条件下で関連する層がコhomologically局所定数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Maurer-Cartanモジュライ空間は、単なる準同型写像ではなく、強いホモトピー型の不変量であるか？
• RQ2 ホモトピー同値なMC要素がいつゲージ同値になるか、逆にゲージ同値な要素がいつホモトピー同値になるかの条件は何か？
• RQ3 高次リーマン＝ヒルベルト対応は、多様体を超えて単体的複体や位相空間へ一般化可能か？
• RQ4 $K_{\infty}^*$および$K_0^*$代数は、dg代数における乗法的ホモトピーをどのようにモデル化するか？
• RQ5 $\operatorname{Tw}(A)$の圏は$D(A)$よりも細かい不変量であるか？そのホモトピー理論は何か？

主な発見

• $\operatorname{Tw}(A)$の圏は$A$の準同型写像の不変量ではないが、強いホモトピー同値性の不変量である。
• Maurer-Cartanモジュライ空間は、強いホモトピー型の不変量であり、dg代数における新しいかつ非自明なホモトピー概念である。
• 解析的および代数的設定の両方で、Schlessinger-Stasheff型の定理が成り立ち、適切な条件下でMC要素のホモトピー同値性とゲージ同値性が一致する。
• 高次リーマン＝ヒルベルト対応は、ねじれモジュールのdg圏を用いて再証明され、単体的複体および位相空間へ一般化された。
• dg代数$K_{\infty}^*$は生成元$e,f,s,t$と関係式を明示的に記述でき、アセイックであるため、ホモトピーをモデル化するのに適している。
• $K_{\bullet}$-ホモトピー圏のdg代数は適切に定義されており、$K_{\infty}$-ホモトピー同値性は$K_0$-同値性よりも厳密に細かい。