[論文レビュー] Maurer-Cartan type cohomology on generalized Reynolds operators and NS-structures on Lie triple systems

R. Gharbi, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2023

Geometric Analysis and Curvature FlowsMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、表現を伴うリー三重系における一般化されたレインズ作用素を導入し、その作用素に対応するMaurer-Cartan要素をもつ$L_{u}$-代数を構成する。また、このような作用素に対してヤマグチコホモロジーを定義し、NS-リー三重系をそれらの作用素の背後にある代数的構造として導入し、これがNS-リー代数から生じることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study the notion of generalized Reynolds operators on Lie triple systems with representations (Abbr. extsf{L.t.sRep} pairs) as generalization of weighted Reynolds operators on Lie triple systems. First, We construct an $L_{\infty}$-algebra whose Maurer-Cartan elements are generalized Reynolds operators. This allows us to define a Yamaguti cohomology of a generalized Reynolds operator. This cohomology can be seen as the Yamaguti cohomology of a certain Lie triple system with coefficients in a suitable representation. Next, we study deformations of generalized Reynolds operators from cohomological points of view and we investigate the obstruction class of an extendable deformation of order $n$. We end this paper by introducing a new algebraic structure, in connection with generalized Reynolds operator, called NS-Lie triple system. Moreover, we show that NS-Lie triple systems can be derived from NS-Lie algebras.

研究の動機と目的

• リー三重系とその表現（L.t.sRep対）における重み付きレインズ作用素を、より広いクラスの作用素へ一般化すること。
• 一般化されたレインズ作用素のためのコホモロジー的枠組みを、$L_\infty$-代数とMaurer-Cartan要素を用いて確立すること。
• コホモロジーにおける障害類を用いて、一般化されたレインズ作用素の変形を研究すること。
• 一般化されたレインズ作用素の背後にある代数的構造として、新しい代数的構造であるNS-リー三重系を導入し、その特徴を明らかにすること。
• NS-リー代数、リー三重系、および新たに定義されたNS-リー三重系の関係を明確にすること。

提案手法

• L.t.sRep対における一般化されたレインズ作用素であるMaurer-Cartan要素をもつ$L_\infty$-代数を構成する。
• 一般化されたレインズ作用素を、それらが対応するリー三重系の特定の表現におけるコホモロジー類として解釈することで、ヤマグチコホモロジーを定義する。
• $L_\infty$-代数構造を用いて変形理論を導出し、$n$次から$n+1$次への変形の拡張の障害類を計算する。
• 三重括弧と二項演算を用いてNS-リー三重系の概念を導入し、NS代数構造を三重系へ一般化する。
• 三重括弧と導出された二項演算を用いた構成を通じて、NS-リー三重系がNS-リー代数から自然に生じることを示す。
• コホモロジー的道具立てを用いて、リー三重系、一般化されたレインズ作用素、およびNS構造の代数的性質を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー三重系における重み付きレインズ作用素は、どのように表現の枠組み内で一般化できるか？
• RQ2 一般化されたレインズ作用素の背後にある$L_\infty$-代数構造は何か？ そして、それがそのコホモロジー的性質をどのように符号化するか？
• RQ3 一般化されたレインズ作用素の変形を$ n $次から$ n+1 $次に拡張する際の障害類は何か？
• RQ4 リー三重系における一般化されたレインズ作用素の背後にある代数的構造は何か？ また、NS代数とどのように関係するか？
• RQ5 NS-リー代数からNS-リー三重系をどのように構成できるか？ また、その定義公理は何か？

主な発見

• 著者らは、L.t.sRep対における一般化されたレインズ作用素であるMaurer-Cartan要素をもつ$L_\infty$-代数を構成した。
• 一般化されたレインズ作用素のヤマグチコホモロジーは、作用素によって誘導される適切な表現における、対応するリー三重系のコホモロジーとして定義される。
• $n$次から$n+1$次への変形の拡張の障害類は、系のコホモロジーを用いて明示的に記述される。
• 三重系へのNS代数構造の一般化を満たす一連の公理を満たす、新しい代数的構造であるNS-リー三重系が導入された。
• NS-リー三重系が、三重括弧と導出された二項演算を用いた構成を通じて、NS-リー代数から自然に生じることが示された。
• 本稿は、階層：リー代数 → NS-リー代数 → リー三重系 → NS-リー三重系を確立し、一般化されたレインズ作用素が後者の二つを結ぶ役割を果たすことを示した。