[論文レビュー] Max-plus algebra models of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、任意のトポロジー、シングルサーバーのフォーク・ジョインノード、および無限バッファと有限バッファを併用するキューイングネットワークの動的特性をモデル化するためのmax-plus代数フレームワークを提案する。サービス時間とネットワークトポロジーに基づいて、明示的な動的状態方程式が存在する条件を確立し、max-plus代数における行列演算により、出力時刻のコンactかつ線形な表現を可能にする。

ABSTRACT

A class of queueing networks which may have an arbitrary topology, and consist of single-server fork-join nodes with both infinite and finite buffers is examined to derive a representation of the network dynamics in terms of max-plus algebra. For the networks, we present a common dynamic state equation which relates the departure epochs of customers from the network nodes in an explicit vector form determined by a state transition matrix. It is shown how the matrices inherent in particular networks may be calculated from the service times of customers. Since, in general, an explicit dynamic equation may not exist for a network, related existence conditions are established in terms of the network topology.

研究の動機と目的

• 任意のトポロジー（オープンおよびクローズドネットワークを含む）を有するキューイングネットワークを統一的にモデル化するmax-plus代数フレームワークの構築。
• シングルサーバーのノードと混合バッファ容量（無限および有限）を有するフォーク・ジョインキューイングネットワークの動的特性をmax-plus代数を用いて表現すること。
• 可能な場合に、このようなネットワークに対して明示的な動的状態方程式を導出することと、ネットワークトポロジーに基づいた存在条件を確立すること。
• 有限バッファに起因するブロッキング効果をモデルに組み込みつつ、動的方程式の構造的形を保つこと。

提案手法

• 時間イベント（例：出力時刻）をmax演算（⊕）と加法（⊗）を用いた代数的構造として表現するmax-plus代数を用いてネットワークをモデル化する。
• 出力時刻の状態ベクトルを定義し、サービス時間とネットワーク構造から状態遷移行列T(k)を導出する。
• ネットワークの部分グラフG₀のグラフ理論的解析を用いて、暗黙的動的方程式が明示的に解けるかどうかを判定する。
• 動的方程式をd(k) = T(k) ⊗ d(k−1)の形で定式化し、T(k)をサービス時間とルーティング行列から計算する。
• 遅延依存関係を表現するための拡張状態ベクトルとブロック行列形式を導入し、max-plus代数における標準的な線形形を実現する。
• ルーティング行列G₀に関連するグラフの無閉路性に基づいて、明示的方程式の存在条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルーティング行列G₀に関連するグラフが無閉路である条件を満たす場合に、有限および無限バッファを併用するフォーク・ジョインキューイングネットワークに対して、max-plus代数を用いて明示的な動的状態方程式を導出できるトポロジー的条件は何か？
• RQ2 任意のトポロジーを有するネットワークにおいて、max-plus代数を用いて出力時刻の動的特性をどのようにコンactかつ線形な形で表現できるか？
• RQ3 有限バッファによるブロッキングを考慮する場合、動的方程式の構造を保ちつつ、状態遷移行列に必要な修正は何か？
• RQ4 サービス時間とルーティングパターンは、max-plusフレームワークにおける状態遷移行列の構築にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このようなネットワークに対して導出された暗黙的動的方程式は、明示的形に変換可能か。その場合、どのような条件下で可能となるか？

主な発見

• 明示的動的状態方程式d(k) = T(k) ⊗ d(k−1)が存在するための必要十分条件は、ルーティング行列に関連するグラフG₀が無閉路であることである。
• サービス時間とルーティングパラメータから、有限バッファが存在する場合でさえも、状態遷移行列T(k)を明示的に計算可能である。
• 有限バッファが存在する場合でも、G₀の無閉路性が保たれていれば、明示的方程式の存在条件に影響しない。
• G₀に閉路が含まれる場合、暗黙的方程式は明示的に解けないが、初期条件を変更するか、ルーティングパラメータを調整することで、明示的形を回復できる。
• モデルはオープンネットワークおよびクローズドネットワークの両方をサポートし、Hm項を含む修正された行列表現により、有限バッファに起因するブロッキングを扱える。
• このフレームワークにより、max-plus代数を用いて複雑なキューイングネットワークをコンactかつ解析的に取り扱いやすく、計算的にも効率的なモデル化が可能となる。