[論文レビュー] Maximal function characterizations for new local Hardy type spaces on spaces of homogeneous type

Anh Tuan Bui, Xuan Thinh Duong+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガウス推定を満たす非負自己共役作用素 𝔏 に関連する同次型空間上における、新しい局所ハーディー型空間の最大関数特徴付けを確立する。臨界関数 ρ を導入し、𝔍 および ρ に関連する局所ハーディー空間の非接続的および径方向最大関数特徴付けを証明する。これはコイフマン＝ウーツ理論を拡張し、多様体およびノルム的非可換リー群上のシュレーディンガー作用素への応用を可能にする。

ABSTRACT

Let $X$ be a space of homogeneous type and let $\mathfrak{L}$ be a nonnegative self-adjoint operator on $L^2(X)$ enjoying Gaussian estimates. The main aim of this paper is twofold. Firstly, we prove the (local) nontangential and radial maximal function charaterization for the local Hardy spaces associated to $\mathfrak{L}$. This deduces the maximal function charaterization for local Hardy spaces in the sense of Coifman and Weiss provided that $\mathfrak{L}$ satisfies certain extra conditions. Secondly, we introduce the local Hardy space associated to the critical function $ ho$ which is motivated by the theory of Hardy spaces related to Schrodinger operators and includes the local Hardy spaces of Coifman and Weiss as a special case. Then we prove that these local Hardy spaces can be characterized by the the local nontangential and radial maximal function charaterization related to $\mathfrak{L}$ and $ ho$ and the global maximal function charaterizations associated to `perturbations' of $\mathfrak{L}$. As applications, we apply our theory to obtain a number of new results on maximal characterizations for the local Hardy type spaces in various settings ranging from Shrodinger operators on manifolds to Shrodinger operators on connected and simply connected nilpotent Lie groups.

研究の動機と目的

• 同次型空間上における非負自己共役作用素 𝔏 に関連する局所ハーディー空間の非接続的および径方向最大関数特徴付けを確立すること。
• 𝔍 に追加の条件を課した場合に、コイフマン＝ウーツの局所ハーディー空間理論を最大関数特徴付けを用いて拡張すること。
• 臨界関数 ρ を用いて、コイフマン＝ウーツ枠組みを一般化する新しい局所ハーディー空間を定義すること。
• 𝔍 の摂動を用いて、これらの新しいハーディー空間のグローバルおよび局所的最大関数特徴付けを証明すること。
• この理論を多様体および連結で単連結なノルム的非可換リー群上のシュレーディンガー作用素に応用すること。

提案手法

• 𝔍 に関連する熱核のガウス上界を用いて、ハーディー空間設定における関数の成長を制御する。
• 作用素 𝔍 から導かれる臨界関数 ρ を用いて、コイフマン＝ウーツ理論における古典的サイズ条件を一般化した局所ハーディー空間を定義する。
• 空間および作用素 𝔍 の幾何に適合した最大作用素を用いて、非接続的および径方向最大関数特徴付けを確立する。
• 𝔍 の摂動を導入し、グローバル最大関数特徴付けを導出し、局所的およびグローバルな振る舞いを結びつける。
• 𝔍 の構造および関連する熱半群を用いて、リーマン多様体およびノルム的非可換リー群などの特定の幾何的設定に理論を適用する。
• 同次型空間における特異積分および最大関数の理論を用いて、ノルムの有界性および同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素 𝔍 が同次型空間上に作用する場合、非接続的および径方向最大関数は、それに関連する局所ハーディー空間を特徴付けることができるか？
• RQ2 コイフマンとウーツの最大関数特徴付けが、ガウス推定を満たす作用素 𝔍 に拡張されるための条件は何か？
• RQ3 臨界関数 ρ をどのように用いることで、コイフマン＝ウーツ空間を特別な場合として含む一般化された局所ハーディー空間を定義できるか？
• RQ4 𝔍 の摂動を導入した場合、局所的およびグローバル最大関数特徴付けの関係は何か？
• RQ5 この理論は、多様体およびノルム的非可換リー群上のシュレーディンガー作用素にどの程度まで応用可能か？

主な発見

• 臨界関数 ρ に関連する局所ハーディー空間は、作用素 𝔍 に関連する非接続的および径方向最大関数によって特徴付けられる。
• 𝔍 に追加の条件が満たされると、コイフマンとウーツの最大関数特徴付けが回復され、彼らの理論がより広い作用素のクラスへと拡張される。
• 𝔍 の摂動に対してグローバル最大関数特徴付けが確立され、ハーディー空間枠組みにおいて局所的およびグローバルな振る舞いが結びつけられる。
• この理論はリーマン多様体上のシュレーディンガー作用素に適用可能であり、その設定で新たな最大関数特徴付けが得られる。
• この枠組みは連結で単連結なノルム的非可換リー群へと拡張可能であり、非コンパactかつ同次型の設定におけるハーディー空間の最大関数特徴付けを提供する。
• 臨界関数 ρ は、新しいハーディー空間における関数のサイズおよび減衰特性を定義する上で中心的な役割を果たし、古典的なルベーグ空間に基づくサイズ条件を一般化する。