[論文レビュー] Maximal linear spaces contained in the base loci of pencils of quadrics

Xiaoheng Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、特徴数 ≠ 2 の任意の体上での、2次形式の線型系に関連するピカード多様体とファノ多様体の不連結な直和に、標準的な群構造を確立する。一般の線型系に対して、基底被覆の最大次元線形空間のファノ多様体が、関連する双曲的曲線のヤコビアン上にトーラスであることを示し、ヤコビアンを拡張する一意的な可換代数群構造を構成する。これにより、J[4]およびJ[2]上のトーラスへの標準的リフトが可能となり、2-降下およびセレマー群統計への応用が可能になる。

ABSTRACT

The geometry of the Fano scheme of maximal linear spaces contained in the base locus of a pencil of quadrics has been studied by algebraic geometers when the base field is algebraically closed. In this paper, we work over an arbitrary base field of characteristic not equal to 2 and show how these Fano schemes are related to the Jacobians of hyperelliptic curves. In particular, if $B$ is the base locus of a generic pencil of quadrics in $\bbp^{2n+1}$, and $F$ is the Fano variety of $n - 1$ planes contained in $B$, then $F$ is a component of a disconnected commutative algebraic group $G = \picz(C) \dcup F \dcup \pico(C) \dcup F'$, where $C$ is the hyperelliptic curve defined by the discriminant form of the pencil. In the second half of this paper, we study regular pencils of quadrics, where the hyperelliptic curve defined by the discriminant is singular.

研究の動機と目的

• 代数閉体でない体上でも、2次形式線型系の基底被覆内に存在する最大次元線形空間のファノ多様体の幾何学的・算術的理論を拡張すること。
• 特徴数 ≠ 2 の任意の体上でのピカード多様体とファノ多様体の不連結な直和に、標準的な可換代数群構造を確立すること。
• 構築された群法則を用いて、ファノ多様体トーラスをJ[4]およびJ[2]上に標準的リフトすることにより、2-降下およびセレマー群統計への応用を可能にすること。
• 一般の線型系から、単純な円錐特異点のみを有する正則線型系へと結果を一般化し、双曲的曲線のヤコビアンへの接続を拡張すること。

提案手法

• 2次形式線型系の判別式によって定義される双曲的曲線Cに対して、G = Pic⁰(C) ⊔ F ⊔ Pic¹(C) ⊔ F′ という可換代数群Gを構成する。
• Gに群法則+Gを導入し、G⁰ = Pic⁰(C)とし、成分群をZ/4Zとする。同時に、反転を用いてF′がFと同型であることを保証する。
• 線型系に付随する自己随伴作用素Tを用いて、基底被覆に含まれる線形空間内の一般化固有空間および歪対称2次元部分空間を分析する。
• 還元理論を適用し、判別多項式f(x)の構造とその分離的閉包上での因数分解を分析することで、基底被覆内の線形空間を分類する。
• Fano多様体の異なる特異点に関する再帰的双対写像δを用い、安定化部分群のサイズを保存し、補題3.36により既知の状況に帰着する。
• k̄上での歪対称2次元部分空間内の解の数を数えるために、明示的な線型系および行列条件（例：Γi, Ωi係数を有する3×4行列）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴数 ≠ 2 の任意の体上での、2次形式線型系の基底被覆内に存在する最大次元線形空間のファノ多様体は、どのように振る舞うか？
• RQ2 ピカード多様体とファノ多様体の直和に、関連する双曲的曲線のヤコビアンを拡張する標準的な可換代数群構造を構成できるか？
• RQ3 ファノ多様体と判別曲線のヤコビアンの2- torsionおよび4- torsion部分群との正確な関係は何か？
• RQ4 線型系が正則的（単純な円錐特異点のみを有する）である場合、ファノ多様体の幾何学的・算術的構造は、一般の線型系と比べてどのように変化するか？
• RQ5 ファノ多様体のヤコビアン上でのトーラス構造は、J[4]またはJ[2]上に標準的にリフト可能か？その幾何的意味は何か？

主な発見

• 一般の2次形式線型系がP^{2n+1}に作用するとき、基底被覆内の(n−1)-次元平面のファノ多様体Fは、関連する双曲的曲線C（ genus n）のヤコビアンJ上にトーラスである。
• G = Pic⁰(C) ⊔ F ⊔ Pic¹(C) ⊔ F′ に、成分群がZ/4Zである一意的な可換代数群構造+Gが存在し、H = Pic(C)/D₀ 上の群法則を拡張する。
• ファノ多様体Fは、F[4] = {X ∈ F | X +G X +G X +G X = 0} によってJ[4]上のトーラスとして標準的リフトされ、標準的な4- torsion構造が得られる。
• Pic¹(C)(k) ≠ ∅ であるとき、FはJ上に2階のトーラスであり、F[2]_{[D₁]} = {X ∈ F | X +G X = [D₁]} によりJ[2]上のトーラスとして標準的リフトが可能である。
• C上の有理ウェイエルシュトラウス点または非ウェイエルシュトラウス点Pに対して、リフトF[2]_Pは、Pを含む線形空間の観点から幾何的に記述可能であり、算術的応用が可能になる。
• 基底被覆内に存在するk̄-有理な最大次元線形空間の数は、N = 2n+1が奇数のとき2^{2n}、N = 2n+2が偶数のとき2^{2n}であり、k̄上での既知の幾何的数え上げと一致する。