[論文レビュー] Maximal monotone operators are selfdual vector fields and vice-versa

Nassif Ghoussoub|ArXiv.org|Oct 16, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、反射的バナッハ空間上における最大単調作用素と自己双対ベクトル場の間に双対性を確立する。任意の自己双対ラグランジアンは、その部分微分を用いて最大単調作用素を生成するが、逆に任意の最大単調作用素は、ある自己双対ラグランジアンの部分微分として現れる。この同等性により、自己双対ポテンシャルから導かれる汎関数の最小化を通じて、このような作用素を含む方程式の変分的解法が可能になる。

ABSTRACT

If $L$ is a selfdual Lagrangian $L$ on a reflexive phase space $X imes X^*$, then the vector field $x o \bar\partial L(x):=\{p\in X^*; (p,x)\in \partial L(x,p)\}$ is maximal monotone. Conversely, any maximal monotone operator $T$ on $X$ is derived from such a potential on phase space, that is there exists a selfdual Lagrangian $L$ on $X imes X^*$ (i.e, $L^*(p, x) =L(x, p)$) such that $T=\bar\partial L$. This solution to problems raised by Fitzpatrick can be seen as an extension of a celebrated result of Rockafellar stating that maximal cyclically monotone operators are actually of the form $T=\partial ϕ$ for some convex lower semi-continuous function on $X$. This representation allows for the application of the selfdual variational theory --recently developed by the author-- to the equations driven by maximal monotone vector fields. Consequently, solutions to equations of the form $Λx\in Tx$ for a given map $Λ: D(Λ)\subset X o X^*$, can now be obtained by minimizing functionals of the form $I(x)=L(x,Λx)-< x, Λx>$.

研究の動機と目的

• 非線形解析における、最大単調作用素の変分的表現に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 巡回単調作用素に対するロッカフェラーの表現定理を、より広い最大単調作用素のクラスへ拡張すること。
• 任意の反射的バナッハ空間上での最大単調作用素が、自己双対ラグランジアンの部分微分として現れることを確立すること。
• 方程式 $\Lambda x \in Tx$ を解くための変分的枠組みを、自己双対変分理論を用いて提供すること。

提案手法

• 自己双対ラグランジアン $L$ に対して、導来ベクトル場 $\bar{\partial}L(x) = \{p \in X^* \mid (p,x) \in \partial L(x,p)\}$ を定義する。
• Legendre-Fenchel双対性および凸解析の性質を用いて、任意の such $\bar{\partial}L$ が最大単調であることを証明する。
• ネストされた部分自己双対ラグランジアンの族を用いた超限帰納法により、与えられた最大単調作用素 $T$ から自己双対ラグランジアン $N_T$ を構成する。
• 不等式 $L^*(p,x) \geq L(x,p) \geq \langle x,p\rangle$ を用いて、$\bar{\partial}N = T$ を満たす自己双対拡張 $N$ の存在を保証する。
• 自己双対変分理論を適用し、$I(x) = L(x, \Lambda x) - \langle x, \Lambda x \rangle$ の形をした汎関数を最小化することで、$\Lambda x \in Tx$ を解く。
• 自己双対ラグランジアンに対して $L^*(p,x) = L(x,p)$ が成り立つことを利用して、対称性と変分的構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的バナッハ空間上での任意の最大単調作用素が、自己双対ラグランジアンの部分微分として表現可能か？
• RQ2 古典的な部分微分最小化を一般の最大単調作用素へ拡張する変分原理は存在するか？
• RQ3 自己双対変分理論を用いて、最大単調ベクトル場を含む方程式をどのように解くことができるか？
• RQ4 自己双対ラグランジアンと最大単調作用素のフィッツパトリック表現との関係は何か？

主な発見

• 任意の自己双対ラグランジアン $L$ は、$T(x) = \bar{\partial}L(x)$ を用いて最大単調ベクトル場を生成する。
• 任意の最大単調作用素 $T$ で定義域が空でないものに対して、$T = \bar{\partial}N$ を満たす自己双対ラグランジアン $N$ が存在する。
• $N$ の構成は、ネストされた部分自己双対ラグランジアンの族に対する超限帰納法に依拠し、自己双対な極限に収束する。
• 方程式 $\Lambda x \in Tx$ の解は、$I(x) = N(x, \Lambda x) - \langle x, \Lambda x \rangle$ を最小化することで得られ、最小値はゼロである。
• 作用素 $T$ に付随する自己双対ラグランジアン $N_T$ は、$L_T(x,p) \leq N_T(x,p) \leq L_T^*(p,x)$ および $N_T^*(p,x) = N_T(x,p)$ を満たす。
• この結果は、ロッカフェラーの定理を、巡回単調から一般の最大単調作用素へ拡張することで一般化している。