[論文レビュー] Maximal monotone operators with a unique extension to the bidual

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間上の最大単調作用素が双双対空間への一意的な最大単調拡張を持つための新しい十分条件を提示する。中心的な道具としてS関数が用いられ、この条件はゴスツェのD型条件を一般化し、制限付きBrønsted-Rockafellar性質を示唆する。主な結果として、S関数が実数値に有限である場合、そのような作用素のグラフはアフィン線形である必要がある。

ABSTRACT

We present a new sufficient condition under which a maximal monotone operator $T:X os X^*$ admits a unique maximal monotone extension to the bidual $\widetilde T:X^{**} ightrightarrows X^*$. For non-linear operators this condition is equivalent to uniqueness of the extension. The class of maximal monotone operators which satisfy this new condition includes class of Gossez type D maximal monotone operators, previously defined and studied by J.-P. Gossez, and all maximal monotone operators of this new class satisfies a restricted version of Brondsted-Rockafellar condition. The central tool in our approach is the $\mathcal{S}$-function defined and studied by Burachik and Svaiter in 2000 \cite{BuSvSet02}(submission date, July 2000). For a generic operator, this function is the supremum of all convex lower semicontinuous functions which are majorized by the duality product in the graph of the operator. We also prove in this work that if the graph of a maximal monotone operator is convex, then this graph is an affine linear subspace.

研究の動機と目的

• バナッハ空間上の最大単調作用素が双双対空間へ一意的な最大単調拡張を持つための新しい十分条件を同定すること。
• 拡張の一意性を保証するゴスツェのD型条件を、より広い作用素のクラスへ一般化すること。
• S関数の有限性と拡張のグラフ構造（特にその凸性と線形性）との関係を確立すること。
• 新しい条件を満たす作用素が制限付きBrønsted-Rockafellar性質を満たすことを証明すること。
• 最大単調作用素のグラフが凸であるならば、それがアフィン線形部分空間でなければならないことを示すこと。

提案手法

• S関数は、作用素のグラフ上で双対積を下回るすべての凸下準連続関数の上界として定義され、中心的な解析的道具として用いられる。
• S関数の共役 $(\mathcal{S}_T)^*$ が解析され、関数が有限である領域の特徴づけがなされ、双双対拡張の構造と結びつけられる。
• 作用素とその逆作用素の間の双対性は写像 $\Lambda$ を通じて保持され、性質の双対空間への移行を可能にする。
• 重要なステップとして、$(\mathcal{S}_T)^*$ が点で有限であるならば、双対空間内の点の線分が拡張作用素の逆作用素の定義域に含まれることを示す。これは、拡張グラフの単調性と凸性を示唆する。
• 積空間における最大単調かつ凸な集合はアフィン線形でなければならないという事実を用い、元の作用素がアフィンでない場合に矛盾が生じることを導く。
• 一意性の証明は、拡張作用素 $\widetilde{T}$ がその逆作用素が必要な不等式を満たし、最大であることを確認することで行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間上の最大単調作用素が、双双対空間へ一意的な最大単調拡張を持つための条件は何か？
• RQ2 S関数の有限性は、拡張作用素のグラフ構造とどのように関係するか？
• RQ3 新しい拡張の一意性条件が、制限付きBrønsted-Rockafellar性質を示すことを示せるか？
• RQ4 S関数が実数値に有限である場合、拡張のグラフに構造的特徴があるか？
• RQ5 S関数と双双対拡張の文脈における双対積の関係は何か？

主な発見

• 本論文は、双双対空間への一意的かつ最大単調な拡張のための新しい十分条件を確立した。この条件はゴスツェのD型条件を一般化する。
• 新しい条件を満たすすべての最大単調作用素は、制限付きBrønsted-Rockafellar性質を満たす。
• S関数が $X^* \times X^{**}$ の点で実数値に有限であるならば、双対空間内の点の線分が拡張作用素の逆作用素の定義域に含まれる。
• 新しい条件のもとで、最大単調拡張 $\widetilde{T}$ のグラフは凸かつ最大単調であるため、アフィン線形であることが示された。
• 本論文は、最大単調作用素のグラフが凸であるならば、それがアフィン線形部分空間でなければならないことを証明した。これは独立した構造的結果である。
• 一意的拡張 $\widetilde{T}$ はS関数の共役を用いて特徴づけられ、すべての $(x^*,x^{**}) \in X^* \times X^{**}$ に対して $\mathcal{S}_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*, x^{**} \rangle$ が成り立つ。