[論文レビュー] Maximal monotonicity, conjugation and the duality product in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|Sep 23, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Fitzpatrickの最大単調作用素の表現理論を非反射的バナッハ空間へ拡張する。下に有界な凸関数が双対積によって表される条件を同定することで、その関数が最大単調作用素を表すことを示している。もし凸かつ下方連続な関数 h が、すべての (x,x*) ∈ X×X* に対して h(x,x*) ≥ ⟨x,x*⟩ および h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩ を満たすならば、集合 T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} は最大単調であることが保証され、これは反射的空間から非反射的空間へ一般化された結果であり、定義域の正則性条件のもとで成り立つ。

ABSTRACT

Maximal monotone operators on a Banach space into its dual can be represented by convex functions bounded below by the duality product. It is natural to ask under which conditions a convex function represents a maximal monotone operator. A satisfactory answer, in the context of reflexive Banach spaces, has been obtained some years ago. Recently, a partial result on non-reflexive Banach spaces was obtained. In this work we study some others conditions which guarantee that a convex function represents a maximal monotone operator in non-reflexive Banach spaces.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間から非反射的バナッハ空間へ、最大単調作用素の凸関数による特徴づけを一般化すること。
• 非反射的設定において、X×X* 上の凸関数が最大単調作用素を表すための必要十分条件を同定すること。
• 非反射的空間において、Fitzpatrick族の最小関数が最大単調作用素に対応するかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 関数 h の定義域に適した正則性条件を確立し、h の等高線集合による最大単調性の表現を保証すること。

提案手法

• 最大単調作用素を凸解析によって特徴づけるために、Fitzpatrick関数 φ_T 及びその共役を用いる。
• Fenchel-Legendre共役と双対積 π(x,x*) = ⟨x,x*⟩ を用いて、π によって下から有界な関数のクラスを定義する。
• 写像 J: h ↦ h* を導入し、Fitzpatrick族 F_T を自分自身へ写像する。この写像は表現性を保ち、h が下半連続ならば h ∈ F_T を保証する。
• 定義域正則性条件を課す：λ>0 に対する λ·Pr_X(D(h)) の和集合が X の閉部分空間である。これにより、部分等高線集合の閉性が保証される。
• Fenchel-Youngの不等式と極小畳み込み技術を用いて、h とその共役の間の双対関係を導出する。
• h のepigraphの閉性と、部分等高線集合の弱*閉性を用いて、誘導される作用素の最大単調性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X×X* 上の凸関数 h が、非反射的バナッハ空間において、T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} が最大単調作用素を定義するための条件は何か？
• RQ2 Fitzpatrick関数による最大単調性の特徴づけを、h*(x*,x**) ≥ ⟨x*,x**⟩ が x** ∈ X** に対して成り立つという強い条件を要しない非反射的バナッハ空間へ拡張できるか？
• RQ3 双対積によって下から有界な凸関数の族において、最小元 g が、非反射的空間において必ずしもある最大単調作用素 T のFitzpatrick関数 φ_T に一致するか？
• RQ4 関数 h の定義域にどのような正則性条件を課すれば、部分等高線集合 {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} が最大単調になるか？

主な発見

• X×X* 上の凸かつ下半連続な関数 h が、すべての (x,x*) ∈ X×X* に対して h(x,x*) ≥ ⟨x,x*⟩ および h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩ を満たすならば、非反射的バナッハ空間において、T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} で定義される作用素 T は最大単調である。
• Fitzpatrick関数 φ_T は族 F_T における最小関数であり、写像 J は F_T への属性を保ち、h が下半連続ならば h ∈ F_T を保証する。
• 論文は、双対積によって下から有界な凸関数の族において最小元 g が存在し、λ>0 に対する λ·Pr_X(D(g)) の和集合が X の閉部分空間であるならば、g = φ_T を満たすある最大単調作用素 T が存在することを証明した。
• 定義域正則性条件により、h の部分等高線集合が強い位相で閉じていることが保証され、これは非反射的空間における最大単調性の成立に不可欠である。
• Martínez-Legaz と Svaiter が提起した未解決問題の部分的な解を提供し、定義域正則性のもとで、双対積によって下から有界な凸関数族における最小関数が必ずFitzpatrick関数であることを示した。
• 結果として、Burachik と Svaiter の定理1.2 を反射的空間から非反射的空間へ一般化した。強い条件 h*(x*,x**) ≥ ⟨x*,x**⟩ を弱い条件 h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩ と定義域正則性仮定に置き換えた。